2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高一上学期期中考试数学试题

2022---2023学年第一学期期中考试

高一数学

考试时长：120 分钟

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8个小题，每小题5分）

1．已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的

集合为（）

A. B. C. D.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，则的值为（    ）

A．6 B．5 C．1 D．0

5．已知奇函数，当时，（m为常数），则（    ）

A．1 B．2 C． D．

6．不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）

A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能

8．已知函数为上的偶函数，对任意，均有成立，若，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题（共4个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）

9．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）

A．B．不等式的解集为

C．D．不等式的解集为

11．已知函数，则使的x是（    ）

A．4 B．1 C． D．

12．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（    ）

A． B．若，且，则

C．若，则 D．的值域为

第II卷（非选择题）

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答）

13．已知幂函数图象过点，则=__________．

14．____________．

15．已知函数，当时，取最小值，则____________.

16．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是______．（只要写出一个符合条件的即可）

四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)

17．已知

(1)求的定义域、并判断函数的奇偶性；

(2)求使的的取值范围.

18．已知集合.

(1)若，求；

(2)给出以下两个条件：①；②；③“”是“”的充分条件.

在以上三个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：

若___________，求实数a的取值范围.

19．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若提价后定价为x（单位：元），销售总收入y（单位：万元）

(1)提价后如何定价才能使销售总收入最大？销售总收入最大值是多少？（精确到0.1）

(2)如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

20．函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论.

21．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．

(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；

(2)若f(1)=2，

①a＞0，b＞0，求的最小值及此时a，b的值；

②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

22．已知定义在R上的函数满足且，．

(1)求的解析式；

(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；

(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围.

22-23高一数学期中考试参考答案：

1．B

【分析】阴影部分表示的集合为，求出后可求此集合.

【详解】因为，故，而，

又阴影部分表示的集合为，故阴影部分表示的集合为，

故选：B.

2．C

【分析】将特称命题否定为全称命题即可.

【详解】命题“，”的否定是

“，”，

故选：C

3．A

【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.

【详解】因为函数为幂函数，所以，则，

又因为的图象经过点，所以，得，

所以.

故选：A

4．A

【分析】由分段函数解析式依次代入求出函数值即可得出结果.

【详解】,,

,,.

.

故选:A.

【点睛】本题考查分段函数的函数值的求法,考查学生的解析式的理解辨析能力,属于基础题.

5．C

【分析】利用求得，然后结合函数的奇偶性求得.

【详解】依题意是奇函数，

由于时，，

所以，

所以时，，

所以.

故选：C

6．C

【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．

【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.

则有，变形可得，

故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.

对照四个选项，只有C符合.

故选：C．

7．A

【分析】根据杠杆原理以及基本不等式即可求解.

【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为

由杠杠平衡原理可得，，所以，这样可知称出的黄金大于.

故选:A

8．C

【分析】由题知函数在上单调递增，，再结合可得答案.

【详解】解：因为对任意，均有成立，

所以函数在上单调递减，

因为函数为上的偶函数，

所以，函数在上单调递增，

因为，，

所以，

所以，即.

故选：C

9．AD

【分析】根据集合的交并补运算以及子集关系即可求解.

【详解】或，，，所以，．

故选：AD

10．BD

【分析】由一元二次不等式的解集得到一元二次方程的解，由韦达定理得到的关系式，且，从而判断A错误，解不等式得到BD正确，由得到C错误.

【详解】由题意得：的解为-2和3，且，

所以，解得：，

所以A错误，

，即，解得：，B正确；

，C错误；

变形为，不等式除以得：，

解得：，D正确.

故选：BD

11．AD

【分析】根据题意，结合函数的解析式分两种情况讨论：当时，，当时，，求出符合要求的x的值，即可得答案.

【详解】根据题意，函数，

当时，，则有，不合要求，舍去

当时，，解得：或，均满足要求.

故或，

故选：AD

12．ABD

【分析】由函数图象过原点可判断A;利用指数函数性质求得，继而判断函数的奇偶性，利用偶函数性质可判断B；判断函数的单调性，可判断C;结合指数函数性质以及不等式性质可求得的值域，判断D.

【详解】对于A, 函数的图象经过原点,所以，正确；

对于B，当时，，故由图象无限接近直线，

可知，所以，

则，定义域为，该函数为偶函数，

故由，且，可得，B正确；

对于C，当时，为单调减函数，

故由，则，C错误；

对于D，，

即的值域为，D正确，

故选：ABD.

13．3

【详解】试题分析：由题意，设幂函数的解析式为，由得，所以答案为.

考点：幂函数的解析式，函数值的求解.

14．4

【分析】利用指对数的运算性质化简求值即可.

【详解】原式.

故答案为：4

15．

【分析】利用基本不等式及其取等条件可求得，加和可得结果.

【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），

，，.

故答案为：.

16．（答案不唯一）

【分析】利用分段函数整体单调递减，分段也是单调递减可求出，从而函数在上单调递减的一个充分不必要条件是的非空真子集.

【详解】因为在上单调递减,

所以,解得,

所以答案为的非空真子集.

故答案为：（或的任一非空真子集都可以）

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据并集的定义，求解即可；

（2）选择①②③，都有，分两种情况讨论，列出不等关系，求解即可.

（1）

当时，集合，

所以；

（2）

选择①②③，都有，

因为，

当时，，解得，

当，又，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

18．(1)定义域为，为奇函数；

(2).

【分析】（1）根据对数函数的定义域可得解出范围即可，判别函数奇偶性，先看定义域关于原点对称，然后计算，得到，所以为奇函数；

（2）由得到，解不等式，注意定义域范围即可.

（1）

由题意得，即，解得，

所以定义域为，

因为定义域为，关于原点对称，

且，所以是奇函数.

（2）

，，，，

，，，

综上的取值范围为.

19．(1)定价为每本元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为万元

(2)每本杂志的定价不低于元且不超过4元

【分析】(1) 若提价后定价为x元,则可售出万件,总收入与售价函数关系为二次函数,利用二次函数求最值.

(2) 由销售总收入不低于20万元列出不等式,解二次不等式.

（1）

由题意可得

当（元）时，（万元）.

即定价为每本元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为万元.

（2）

由题意可得

所以，当每本杂志的定价不低于元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元.

20．(1)

(2)增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据，得到的方程，解之即可求得；

（2）根据单调性的定义证明即可；

（3）根据单调性先去，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．

（1）

解：是定义在上的奇函数，

，

，

又由，

∴ ．

，

∴奇函数，

故符合题意，为所求解．

（2）

解：在区间上为增函数．

证明：设．

而，

由，

得，

，

即，

．

故函数在上为增函数．

【点睛】本题的难点在（2）中判断与的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在

21．(1)；

(2)①9；②

【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；

（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．

（1）

由题意的两根是和1且，

所以，解得．

（2）

①，，

又，

所以，当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值是9．

②由①得，，即，

的解集为R，时，不合题意，

所以，且，解得，

所以的范围是．

22．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据，代入计算可得；

（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.

（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.

（1）

由题意知，，

即，所以，

故.

（2）

由（1）知，，

所以在R上单调递增，

所以不等式恒成立等价于，

即恒成立.

设，则，，当且仅当，即时取等号，

所以，

故实数a的取值范围是.

（3）

因为对任意的，存在，使得，

所以在上的最小值不小于在上的最小值，

因为在上单调递增，

所以当时，，

又的对称轴为，，

当时，在上单调递增，，解得，

所以；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

，解得，所以；

当时，在上单调递减，，解得，

所以，

综上可知，实数m的取值范围是.