初中北师大版3 线段的垂直平分线教学设计

这是一份初中北师大版3 线段的垂直平分线教学设计，共5页。教案主要包含了探究新知，典型例题，变式训练，课堂检测等内容，欢迎下载使用。

课题
1.3.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
授课人
CQY
教学目标
会证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理．
2．能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．
教学重点
运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆定理.
教学难点
垂直平分线的性质定理及判定定理在实际问题中的准确运用.
授课类型
新授课
课时
1课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
环节一：
回顾旧知、导入新课
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
2．什么是线段的垂直平分线？
3．如何用尺规作线段的垂直平分线？
4. 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，那么线段的垂直平分线有什么性质呢？如何证明呢？如何判断一条直线是不是线段的垂直平分线呢？这节课我们就来研究它.
通过问题激发学生的学习兴趣和进一步探究新知的欲望.
环节二：
实践探究、交流新知
【探究新知】
如图1，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：

图1 图2
【证明线段垂直平分线的性质定理】
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．
求证：PA＝PB.
证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．
∴PA＝PB.
线段的垂直平分线的性质性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？
逆命题：如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
【线段垂直平分线的判定定理】
已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.
∵PA＝PB，PC⊥AB，
∴AC＝BC.
∴点P在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，连接PC.则AC＝BC.
又∵AP＝BP，
∴PC⊥AB.
∴点P在AB的垂直平分线上．
线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
1.学生分组讨论，探讨证明的思路．培养学生合作交流的团队意识，增强学生的交流表达能力；
2.引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程，突出直角三角形全等的特殊判定方法的应用.
环节三：
开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC，
∴点A为线段BC垂直平分线上的一点(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
∵OB＝OC，
∴点O为线段BC垂直平分线上的一点(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．
例2 如图，在Rt△ABC中，DE为AB的垂直平分线．
(1)如果AC＝6 cm，BC＝8 cm，试求△ACD的周长；
(2)如果∠CAD∶∠BAD＝1∶2，求∠B的度数．
解：(1)∵DE为AB的垂直平分线，
∴DA＝DB.
∴△ACD的周长为AC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝14(cm)．
(2)设∠CAD＝x°，则∠BAD＝2x°.
∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝2x°.
∵∠C＝90°，
∴x＋2x＋2x＝90，解得x＝18.
则∠B＝2x°＝36°.
【变式训练】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE.
(1)若∠A＝35°，则∠CBE＝20°；
(2)若AE＝3，EC＝1，则△ABC的面积为4eq \r(2)．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
解：∵EG垂直平分BD，
∴∠EGB＝90°，BE＝DE.∴∠BEG＝∠DEG.
∵∠ACB＝90°，∴EG∥AC.
∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE.
∴∠EAF＝∠AFE.∴AE＝EF.
∴点E在AF的垂直平分线上．
巩固线段的垂直平分线的性质与判定的理解，进一步体会转化思想与整体思想对解题的指导意义．巩固所学的知识、夯实基础的同时，培养学生发现问题、解决问题的能力.
环节四：
课堂检测、
巩固新知
【课堂检测】
1.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论正确的有(A)
①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第1题图 第2题图
2．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝24°.
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝25°.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.
∴∠EDA＝90°－25°＝65°.
(2)证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB.
又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.
又∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD(AAS)．
∴AE＝AC.
∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
针对本课时的重难点，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
环节五：
课堂小结、
整体感知
1.课堂小结：
本节课学到了什么知识？
（1）线段的垂直平分线的性质性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
（2）线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2．布置作业：
(1)教材第23页随堂练习．
(2)教材第23～24页习题1.7第1，2，3，4题.
梳理知识点，培养归纳总结的习惯．巩固所学知识，训练解题能力.
板书设计
教学反思