2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十一 立体几何 综合练习（A卷）

专题十一 立体几何 综合练习（A卷）

1.下列命题中，正确的个数是(   )

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；

③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面.

A.0 B.1 C.2 D.3

2.水库不仅为防汛抗洪做出了巨大贡献，而且兼顾着灌溉、发电、人畜饮水的重任，其中堤坝是水库的重要组成部分.已知某段体积为的堤坝的三视图如图所示(单位：m)，则侧视图中的x的值是(   )

A.1 B.2 C.3 D.8

3.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(   )

A.π B. C. D.

4.若圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(   )

A.π B. C. D.

5.在空间中，有如下四个命题：

①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；

②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；

③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；

④过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直.

其中真命题为(   )

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

6.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下面四个命题中真命题是(   )

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，，，则

7.如图，在正方体中，①；②直线与的夹角为45°；③；④直线与的夹角为90°，其中正确的结论有(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.已知圆锥的底面半径为2，高为1，经过圆锥顶点的平面α截此圆锥所得的截面面积为，则平面α与底面所成的锐二面角的正切值为(   )

A. B.1 C.或 D.或1

9.如图，点分别是正方体的棱的中点，则(   )

A.平面

B.平面

C.直线与平面所成的角为45°

D.平面平面

10.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________.

11.已知正方体，E，F分别是边的中点，则异面直线所成的角为________.

12.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点.在此几何体中，给出下面五个结论：

①平面平面ABCD；

②平面BDG；

③平面PBC；

④平面BDG；

⑤平面BDG.

其中正确结论的序号是_________________.（写出所有正确结论的序号）

13.在正方体中，截面与底面ABCD所成的二面角的正切值为__________________.

14.在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示的五面体是一个羨除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.

已知平面.

(1)求证：平面BCE.

(2)求证：平面平面BCE.

15.在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面分别为的中点，.

(I)求证：平面平面；

(Ⅱ)求多面体的体积.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确.

2.答案：C

解析：由三视图可知，该段堤坝可看成一个底面为梯形的直四棱柱，其直观图如图所示，其中梯形的上底为1，下底为x，高为2，该直四棱柱的高为4，故，解得，故选C.

3.答案：B

解析：由圆柱的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，知球的直径为2，因此球的半径.因为圆柱的高，所以圆柱的底面半径为.由圆柱体的体积公式得.故选B.

4.答案：B

解析：由题意，得圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为，则该圆锥的侧面积为.

5.答案：B

解析：①平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，故①是假命题；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由面面平行的判定知②是真命题；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，故③是假命题；易知④真命题.故选B.

6.答案：D

解析：若，，则与可能平行，也可能垂直，A为假命题；若，，当m不与，的交线垂直时，m不与垂直，B为假命题；若，，则m与n可能平行，也可能异面，C为假命题；若，，，则，这是面面平行的性质定理，D为真命题.故选D.

7.答案：C

解析：对于①，连接，则.因为，所以，即异面直线与的夹角为60°，故①错误；对于②，因为，所以异面直线与的夹角为45°，故②正确；对于③，连接，则.因为，所以直线与的夹角为90°，即，故③正确；对于④，连接，因为，所以平面，又平面，所以，即异面直线与的夹角为90°，故④正确.综上所述，②③④正确，故选C.

8.答案：D

解析：如图，设圆锥的顶点为P，底面圆的圆心为O，平面α与圆O的交点分别为，过点P作于点H，连接.由题意可知，平面α截此圆锥所得的截面为等腰三角形，且点H为的中点.设，则在中，，在中，，所以的面积.整理，得，解得或(负值已舍去).因为平面α与底面所成的锐二面角即为，所以或.故选D.

9.答案：C

解析：如图，连接.结合已知条件及正方体的性质可知，.因为平面，所以与平面不平行，因此A不正确.连接.易得.又，所以为直线与所成的角.因为，所以，所以与不垂直，所以与平面，不垂直，因此B不正确.由平面，得为直线与平面所成的角.易得，所以直线与平面所成的角为45°，因此C正确.因为， 与平面相交，所以直线与平面相交，则平面与平面相交，因此D不正确.故选C.

10.答案：

解析：由题可得圆锥的体积，可得，故圆锥的母线，所以圆锥的侧面积.

11.答案：45°

解析：连接，因为，所以即为异面直线所成的角，所成的角为45°.

12.答案：①②③④

解析：依题意，由展开图还原几何体，如图所示.可知平面平面ABCD；平面BDG；，故平面PBC；，平面BDG；EF与平面BDG不平行.故正确结论的序号是①②③④.

13.答案：

解析：如图所示，连接AC交BD于点O，连接，，由题可知平面ABCD.因为平面ABCD，所以.因为底面ABCD为正方形，所以.又，所以平面.因为平面，平面，所以，，所以即为二面角的平面角.在中，设，则，所以二面角的正切值为.故答案为.

14.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)因为AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.

，所以四边形CDFE是平行四边形，

所以，因为平面BCE，

平面BCE，所以平面BCE.

(2)因为平面ABEF，

平面ABEF，所以，

因为.

所以平面ADF，因为平面BCE，

所以平面平面BCE.

15.答案：(I)见解析

(Ⅱ)

解析：(I)证明：分别为的中点，

.

又∵四边形是正方形，

，

.

平面平面，

平面平面.

又平面，

∴平面平面.

(Ⅱ)∵四边形是直角梯形，，

.

又∵四边形底面，平面平面平面，

平面，

是四棱锥的高，

.

∵四边形是正方形，

.

平面平面，

.

又平面.

平面，即是三棱锥的高，

，

∴多面体的体积.