2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十四 考点42 几何概型（B卷）

专题十四 考点42 几何概型（B卷）

1.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为(   )

A. B. C. D.

2.如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为(   )
 

A. B. C. D.

3.“黄金螺旋线”是利用黄金比例作出的一条曲线，“黄金螺旋线”符合人类潜意识里的审美观.如图，名画《蒙娜丽莎》整个画面的主体位置就在“黄金螺旋线”的中心，使其更具有视觉美感.现图中有边长为1个单位的小正方形方格，“黄金螺旋线”之内包含的区域面积约为45平方单位，现从矩形范围中随机取一质点，则该质点取自“黄金螺旋线”包含的区域内的概率约为(   )
 

A. B. C. D.

4.十字绣是一种古老的刺绣，起源于我国唐代，拥有悠久的历史.如图是一幅绣有小鹿图案的正方形十字绣，其中正方形的边长为90 cm，现向此正方形内撒2500粒芝麻，其中452粒落在小鹿图案中，则小鹿图案的面积大约是(   )
 

A. B. C. D.

5.若在上随机取一个实数m，则方程有实数解的概率为(   )

A. B. C. D.

6.在一个半径为1的圆中随机撒入100粒大米，恰有35粒大米落在阴影区琙内，则该阴影部分的面积约为(   )

A. B. C. D.

7.尺规作图是起源于古希腊的数学课题，如图是尺规作图得到的图案.四边形是边长为4的大正方形，点O是其中心，且该四边形被平分成四个小正方形，以O为圆心，以大正方形的边长为直径画圆，分别与相切于点，再以分别为直径画半圆即可得出所要的图案.若从大正方形中随机取一点，则该点取自阴影区域内的概率为(   )

A. B. C. D.

8.某商业区要进行“5G”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形，某电讯公司在正六边形的对角顶点处各安装一个基站，达到信号强度要求的区域刚好是分别以为圆心，正六边形的边长为半径的两个扇形区域，未达到信号强度要求的区域为“5G”信号盲区.若一游客在该商业区域内购物，则他刚好在“5G”信号盲区内的概率约为(   )

A. B. C. D.

9.已知正六边形中，分别为的中点，圆O为六边形的内切圆，若往正六边形中投掷一点，则该点不落在圆O内的概率为(   )

A. B. C. D.

10.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前1世纪，到了明代基本定型.明、清两代在中国民间广泛流传，清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”由七巧板拼成某个正方形如图1所示，某人将七巧板拼成如图2所示的小鱼儿形状.若在该小鱼儿形状中随机取出一个点，则该点取自图中阴影部分的概率为(   )

A. B. C. D.

11.若向正方形的外接圆中随机掷一粒黄豆，则黄豆恰好落到正方形的内切圆内的概率是__________.

12.在区间内任取一实数，则的概率为__________.

13.已知是圆的内接正三角形，则往圆中任意投掷一点，该点不落在内的概率为__________.

14.2019年全国青少年航空航天模型锦标赛在宁夏罗山飞行基地举行，本次比赛由国家体育总局航管中心，中国航空运动协会等单位主办.本次比赛吸引了全国132支代表队，1200多名青少年运动员参加，选手将在38个竞技项目里展开精彩角逐.某中学积极准备参加此次锦标赛，将学校社团制作的飞机模型在一个高为40米，底面半径为20米的圆柱内进行飞行测试，假设飞机模型飞到任意位置的概率相等，若飞机模型在飞行过程中始终保持与圆柱上，下和四周表面的距离均大于5米，称其为"达标飞行"，则飞机模型"达标飞行"的概率为____.

15.叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形的两个顶点，分别以为圆心，线段的长度为半径作圆，得到图(1)所示图形，再将正方形外部的圆隐藏就可以得到图(2)所示的叶子标本模型.若往正方形中任意投掷一点，则该点落在叶子上(图(2)中阴影区域)的概率为____________.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题目条件设，，且，则作出对应的平面区域如图所示，可知所求的概率为.

2.答案：A

解析：由题易知四边形EFGH为正方形，且由得，所以的高为，故白色区域的面积为又正方形ABCD的面积为8，所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为，故选A.

3.答案：B

解析：由题意可知该矩形的面积为平方单位，所以故选B.

4.答案：C

解析：设小鹿图案的面积为S，则，所以.

5.答案：B

解析：因为方程有实数解，所以，解得或.

所以根据几何概型得，能使方程有实数解的概率.

6.答案：D

解析：设阴影部分的面积为x，则，解得.

7.答案：A

解析：图中上面的阴影部分的面积为，下面的阴影部分的面积为，大正方形的面积为，根据几何概型的概率计算公式得.

8.答案：D

解析：如图，由题意可知，图中阴影部分为达到信号强度要求的区域.设正六边形的边长为a，则，，则该游客刚好在“5G”信号盲区内的概率约为，故选D.

9.答案：B

解析：不妨设，则，连接，

在等边三角形中，圆O的半径为，

故所求概率，故选B.

10.答案：B

解析：题图2中的阴影部分由一个小等腰直角三角形和一个平行四边形组成，设题图1中大正方形的边长为2，则小等腰直角三角形的面积，平行四边形的面积，则阴影部分的面积，又易知题图1中大正方形的面积为4，所以若在该小鱼儿形状中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为，故选B.

11.答案：

解析：不妨设正方形的边长为2，则其内切圆半径，外接圆半径，由几何概型的概率计算公式知，所求概率.

12.答案：0.5

解析：由得，所以.

13.答案：

解析：依题意，不妨设圆的半径为1，则易知的边长为，则所求概率.

14.答案：

解析：由几何概型的定义.得飞机模型“达标飞行’的概率为.

15.答案：

解析：不妨设，图中叶子的面积为两块弓形区域的面积之和，故所求概率.