初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形学案

专题13.7  等边三角形（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握等边三角形的性质和判定.

2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．

3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

【要点梳理】

 要点一、等边三角形
等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形.　　

要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包

括等边三角形．

要点二、等边三角形的性质

等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

要点三、等边三角形的判定
等边三角形的判定：

　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

要点四、含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　

    要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.

【典型例题】

类型一、等边三角形 

1、 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．

【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．

【答案与解析】

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，

即∠ACD=120°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠1=∠2=60°，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

又∠BAC=60°，

∴∠DAE=60°，

∴△ADE为等边三角形．

【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．

举一反三：

【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.

【答案】

解：   ∵PE⊥AB，∠B＝60°，

因此直角三角形PEB中，BE＝BP＝BC＝PC，

∴∠BPE＝30°，

∵∠EPF＝60°，

∴FP⊥BC，

∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，

∴△BEP≌△CPF，

∴PE＝PF，

∵∠EPF＝60°，

∴△EPF是等边三角形．
2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度数.

【答案与解析】

证明：在中，AB＝AC，∠ABC＝60°

　∴为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）

　　　 ∴AC＝BC，∠A＝∠ECB＝60°

在和中

≌（SAS）

∴（全等三角形对应角相等）

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）

∴

∴∠DPB＝60°.

【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.

举一反三：

【变式】 △ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？

【答案】

解：证法一．

∵△ABC为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC

在△AMB和△BNC中

，

△AMB≌△BNC（SAS），

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，

∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，

又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），

∴∠ANB+∠MAN=120°，

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，

∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，

∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），

=180°﹣120°=60°，

∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．

证法二．

∵△ABC为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC

在△AMB和△BNC中

∴△AMB≌△BNC（SAS）

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC

∠MAN=∠BAC﹣∠MAB

又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）

∴∠ANB+∠MAN=120°

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°

∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB

∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）

=180°﹣120°=60°

3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；

（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．

【思路点拨】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而得到∠AEB的值.

【答案与解析】证明：（1）∵O是AD的中点，

∴AO＝DO

又∵等边△AOB和等边△COD

∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°

∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°

∴∠AEB＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°

（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC

     ∴∠BOD＝∠AOC

     在△BOD与△AOC中，

     ∴△BOD≌△AOC（SAS）

     ∴∠ACO＝∠BDO

∵∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB

＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝60°＋60°＝120°

          ∴∠AEB＝180°－∠AED＝60°.

【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.

举一反三：

【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB 的度数.

【答案】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CE＝CD，

又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，

∴∠AFB＝∠ACB＝60°．

类型二、含30°的直角三角形

4、 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．

        （1）求证：△OCD是等边三角形；

        （2）若EF=5，求线段OE的长.

【答案与解析】解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，

EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，

        ∴DE=CE，

在Rt△ODE和Rt△OCE中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）

∴OD=OC，

∵∠AOB=60°，

∴△OCD是等边三角形；

   （2）∵△OCD是等边三角形，OF是角平分线，

∴OE⊥DC，

∵∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵∠ODF=60°，ED⊥OA，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF=10，

∴OE=2DE=20.

【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。

举一反三：

 【变式】如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE＝2.则 AC的长为_________.

【答案】3；

提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE＝AE＝2，CE＝1，所以AC＝3.