第1章 一元二次方程（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）

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第1章 一元二次方程（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•亭湖区期末）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（2021秋•金湖县期末）若方程mx2+4x﹣3＝2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．由定义求解即可．
【解答】解：∵方程mx2+4x﹣3＝2x2是关于x的一元二次方程，
∴（m﹣2）x2+4x﹣3＝0，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．（2022•宿豫区开学）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0
【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，
x2﹣1﹣3x＝0，
即x2﹣3x﹣1＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
4．（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
【分析】将x＝a代入方程x2+2x﹣4＝0，求出a2+2a＝4，再代入所求代入式即可．
【解答】解：∵a为方程x2+2x﹣4＝0的解，
∴a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
5．（2021秋•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【分析】根据根与系数的关系x1+x2＝代入计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
二．填空题（共7小题）
6．（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程的解，则m﹣1+a的值为 　1　．
【分析】根据一元二次方程的定义可得m的值，再将x＝1代入原方程即可得出a的值，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得m＝2，
故关于x的一元二次方程为4x2﹣3x﹣2a＝0，
因为x＝1是关于x的一元二次方程的解，
所以4﹣3﹣2a＝0，
解得a＝，
所以m﹣1+a＝＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
7．（2022•武进区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有一个根为1，则k的值为 　﹣2　．
【分析】先把x＝1代入方程x2﹣3x﹣k＝0得1﹣3﹣k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣3x﹣k＝0，得1﹣3﹣k＝0，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n的值是 　1　．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．（2022•泰州）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　1　．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0．
10．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+　0（答案不唯一）　＝0有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11．（2022•南京二模）设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是 　﹣3　．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，
而x1+x2＝﹣3，
所以m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（2022•泗洪县二模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则它的另一个根是 　3　．
【分析】设方程x2+mx﹣3＝0的两根为α、β，由根与系数的关系可得出α•β＝﹣3，结合α＝﹣1即可求出β值．
【解答】解：设方程x2+mx﹣3＝0的两根为α、β，
则有：α•β＝﹣3，
∵α＝﹣1，
∴β＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出α•β＝﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之积是关键．
三．解答题（共6小题）
13．（2022•天宁区模拟）解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0
（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，
∴x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝6，
∴（x+1）2＝6，
∴x＝﹣1±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
14．（2021秋•丹阳市期末）解一元二次方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2+2x﹣3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】（1）解：（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
（2）解：x2+2x﹣3＝0，
∴（x﹣1）（x+3）＝0，
则x﹣1＝0或x+3＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．（2022•兴化市开学）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求得方程两根，再结合条件判断即可．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：x2+（k+2）x+2k＝0．
（x+2）（x+k）＝0，
得x1＝﹣2，x2＝﹣k，
∵方程有一个根是正数，
∴﹣k＞0，
∴k＜0．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
16．（2022•宿豫区开学）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，则由x1+x2+x1x2＝m2﹣4m得到﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m
＝m2+8m+16﹣8m
＝m2+16＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，
∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，
∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，
解得m＝1或4，
即m的值为1或4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
17．（2021秋•淮安区期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 　30﹣2x　m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．

【分析】（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
【解答】解：（1）由图可得：平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
故答案为：30﹣2x；
（2）根据题意得：
x•（30﹣2x）＝100，
∴x2﹣15x+50＝0，
解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝20＞18，
∴x＝5不合题意，舍去，
∴x＝10，
答：x的值为10m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合列方程．
18．（2021秋•海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．
【分析】利用经过两个周期的传染后感染新冠的人数＝1×（1+R0）2，即可得出关于R0的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：（1+R0）2＝36，
解得：R0＝5或R0＝﹣7（不合题意，舍去）．
答：新冠病毒的基本传染数R0为5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【典型】
一．选择题（共5小题）
1．（2022•常州模拟）将一元二次方程x2+x＝1化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）之后，一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣1，1 B．1，1 C．﹣1，﹣1 D．1，﹣1
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【解答】解：将一元二次方程x2+x＝1化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）之后，变为x2+x﹣1＝0，
故一次项系数和常数项分别是：1，﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
2．（2022•泗阳县一模）方程x2﹣4＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝0 C．x1＝x2＝2 D．x1＝x2＝﹣2
【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：（1）x2﹣4＝0，
变形得：x2＝4，
开方得：x1＝﹣2，x2＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
3．（2021秋•溧水区期末）关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．﹣2，4 B．﹣2，﹣1 C．2，4 D．2，﹣4
【分析】根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可．
【解答】解：关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别2和﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了整式和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．
4．（2021秋•滨海县期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
5．（2022•宿豫区开学）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝1 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝1
【分析】常数项移到方程的右边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
二．填空题（共7小题）
6．（2022•泗阳县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为　5　．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣1）＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣1）＝0，
解得m＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2022•启东市模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是 　2022　．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（2022春•常熟市期末）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是2，则m的值为　﹣　．
【分析】把x＝2代入关于的x方程x2+mx+3＝0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝2是关于的x方程x2+mx+3＝0的一个根，
∴4+2m+3＝0，
解得m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
9．（2022春•亭湖区校级期末）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　1　．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
10．（2022•盐城二模）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 　k＜﹣1　．
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，
解得：k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
11．（2022•丹阳市二模）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　﹣9　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝62+4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62+4c＝0，
解得c＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12．（2022•如皋市一模）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 　10%　．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
即：年平均增长率为10%．
故答案是：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．掌握增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量是本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2021秋•大丰区期末）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0．
（2）x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；

（2）x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．（2022•宿豫区开学）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润；
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【解答】解：（1）20+2×4＝28（件），
（40﹣4）×28＝1008（元）．
答：均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵每件盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每件衬衫应降价10元．
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：
设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程无实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
【点评】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
【易错】
一．选择题（共1小题）
1．（2022•扬州一模）已知x1、x2、x3为方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（　　）
A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜0
【分析】由x3+3x2﹣9x﹣4＝0可得x2+3x﹣9＝则x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y＝的三个交点的横坐标，
由此画出函数图象求解即可．
【解答】解：∵x3+3x2﹣9x﹣4＝0，当x＝0时，﹣4≠0，
∴x2+3x﹣9﹣＝0，
∴x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y＝的三个交点的横坐标，

由函数图象可知x1 x2 x3＞0，x1+x2+x3＜0，根据已知条件无法判定x1+x2﹣x3＞0，x1﹣x2﹣x3＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y＝的三个交点的横坐标是解题的关键．
二．解答题（共2小题）
2．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
【点评】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
3．（2021秋•邗江区期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k＝，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
所以BC的值是．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．
【压轴】
一．选择题（共3小题）
1．（2021秋•姑苏区校级月考）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
2．（2021•武进区校级自主招生）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　）
A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%
【分析】设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．
【解答】解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1＝（2+x%）x%．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系．
3．（2021秋•姑苏区校级月考）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，化简即可得到a与c的关系．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
二．填空题（共7小题）
4．（2021秋•工业园区校级期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是　　．
【分析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2﹣代入计算即可．
【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x＝2﹣，
由根与系数关系，得x1+2﹣＝4，解得x1＝2+．
【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解．
5．（2021秋•锡山区校级月考）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　3或﹣3　．
【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x＝3或2，
①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．
6．（2021秋•宜兴市月考）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是　﹣1或4　．
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：
x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
7．（2021秋•邗江区期中）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 　x＝3或x＝﹣7　．
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2＝a，5＝b，代入所给公式得：（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
【点评】此题将规定的一种新运算引入题目中，题型独特、新颖，难易程度适中．
8．（2022•常熟市校级模拟）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 　4　．
【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．
【解答】解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1，
∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2021秋•新北区校级期中）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是　6或12或10　．
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，进行分情况计算．
【解答】解：由方程x2﹣6x+8＝0，得x＝2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2＝10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
【点评】本题一定要注意判断是否能构成三角形的三边．
10．（2022•宿豫区开学）已知a、b是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k（k+1）＝0的两个实数根，则a2+b2的最小值是　　．
【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2k+1）2﹣2k（k+1），根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于k的代数式，转化为求代数式的最小值问题．
【解答】解：由题意知，a+b＝2k+1，ab＝k（k+1）
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝（2k+1）2﹣2k（k+1）
＝4k2+4k+1﹣2k2﹣2k＝2k2+2k+1＝2（k+）2+，
∴a2+b2的最小值是．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
三．解答题（共6小题）
11．（2019秋•广陵区校级期中）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．

（2）∵S△ABC＝，
∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），
∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10∴DE＝5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．


【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．
12．（2021秋•靖江市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【分析】（1）先计算出Δ＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1＝k，x2＝k+1，然后分类讨论：AB＝k，AC＝k+1，当AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解为x＝，即x1＝k，x2＝k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；
当AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，
综合上述，k的值为5或4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
13．（2021秋•鼓楼区校级月考）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
【分析】本题是平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．如果设平均增长率为x，那么结合到本题中a就是400×（1+10%），即3月份的营业额，b就是633.6万元即5月份的营业额．由此可求出x的值．
【解答】解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2＝633.6，
解得，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
14．（2021秋•泰州期中）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x＝．
把x＝代入已知方程，得（）2+﹣1＝0
化简，得y2+2y﹣4＝0
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：　y2﹣y﹣2＝0　；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【分析】根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x所以x＝﹣y．
把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2＝0，
故所求方程为y2﹣y﹣2＝0；

（2）设所求方程的根为y，则y＝（x≠0），于是x＝（y≠0）
把x＝代入方程ax2+bx+c＝0，（a≠0），得a（）2+b•+c＝0
去分母，得a+by+cy2＝0．
若c＝0，有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，
可得有一个解为x＝0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根．
故c≠0，
故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0），（a≠0）．
【点评】本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
15．（2021秋•江都区校级月考）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴Δ＝0，即m2﹣4（﹣）＝0，
整理得：（m﹣1）2＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝0.5，
故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；

（2）把AB＝2代入原方程得，m＝2.5，
把m＝2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1＝0，解得x1＝2，x2＝0.5，
∴C▱ABCD＝2×（2+0.5）＝5．
【点评】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
16．（2021秋•吴江区月考）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
要使顾客得到实惠，应取x＝5．
答：每千克水果应涨价5元．
【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额＝每千克盈利×日销售量．