【中考冲刺】初三数学培优专题 23 圆与圆的位置关系（含答案）（难）

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圆与圆的位置关系

【阅读与思考】
两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系. 圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.
解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：
1. 相交两圆作公共弦或连心线；
2. 相切两圆作过切点的公切线或连心线；
3. 有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.
熟悉以下基本图形和以上基本结论.

【例题与求解】
【例1】 如图，大圆⊙O的直径cm，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形的面积为________cm2. （全国初中数学竞赛试题）
解题思路：易证四边形为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.






【例2】 如图，圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线相切. 若⊙A，⊙B，
⊙C的半径分别为，，（），则，，一定满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
（天津市竞赛试题）
解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.

【例3】 如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D. 求证：
（1）∠APD=∠BPD；
（2）. （天津市中考试题）
解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC·BC=PC·CD入手.

【例4】 如图⊙O1和⊙O2相交于点A及B处，⊙O1的圆心落在⊙O2的圆周上，⊙O1的弦AC与⊙O2交于点D. 求证：O1D⊥BC.
（全俄中学生九年级竞赛试题）
解题思路：连接AB，O1B，O1C，显然△O1BC为等腰三角形，若证O1D⊥BC，只需证明O1D平分∠B O1C. 充分运用与圆相关的角.


【例5】 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=，点P在边BC上运动（与B，C不重合）. 设PC=，四边形ABPD的面积为.
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若以D为圆心，为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积. （河南省中考题）
解题思路：对于（2），⊙P与⊙D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于的方程.







【例6】 如图，ABCD是边长为的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求的值. （全国初中数学联赛试题）
解题思路：AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.












【能力与训练】
A 级
1. 如图，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线上，两圆的半径都为1cm. 开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A，⊙B同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为_______秒.
（宁波市中考试题）
2. 如图，O2是⊙O1上任意一点，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半径为_______.
（四川省中考试题）






（第1题图） （第2题图） （第3题图）
3. 如图，半圆O的直径AB＝4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M. 设⊙O1的半径为，AM的长为，则与的函数关系是_________________. （要求写出自变量的取值范围）
（昆明市中考试题）
4. 已知直径分别为和的两个圆，它们的圆心距为，这两圆的公切线的条数是__________.
5. 如图，⊙O1和⊙O2相交于点A，B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点. 已知∠A O1B＝60°，那么∠APB的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
（甘肃省中考试题）
6. 如图，两圆相交于A、B两点，过点B的直线与两圆分别交于C，D两点. 若⊙O1半径为，⊙O2的半径为2，则AC：AD为（ ）
A. B. C. D.






（第5题图） （第6题图） （第7题图）
7. 如图，⊙O1和⊙O2外切于点T，它们的半径之比为3:2，AB是它们的外公切线，A，B是切点，AB＝，那么⊙O1和⊙O2的圆心距是（ ）
A. B. 10 C. D.


8. 已知两圆的半径分别为R和（），圆心距为. 若关于的方程有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（ ）
A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 外切或内切
（连云港市中考试题）
9. 如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点O1在⊙O2上，点C为⊙O1中优弧上任意一点，直线CB交⊙O2于D，连接O1D.
（1）证明：DO1⊥AC；
（2）若点C在劣弧上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.
（大连市中考试题）

图1 图2









10. 如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB过点P且分别交⊙O1和⊙O2于点A，B，BH切⊙O2于点B，交⊙O1于点C，H.
（1）求证：△BCP∽△HAP；
（2）若AP:PB＝3：2，且C为HB的中点，求HA:BC.
（福州市中考试题）





11. 如图，已知⊙B，⊙C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切⊙B于点D，切⊙C于点E，直线AF⊥DE，且与BC的垂直平分线交于点F. 求证：BC＝2AF.
（英国数学奥林匹克试题）


12. 如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点. 正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.
（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；
（2）若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径，求半圆的直径AB.
（杭州市中考试题）



B 级
1. 相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_______.
2. 如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C. 若AB＝8，BC＝1，则AM＝_______.
（黑龙江省中考试题）









（第2题图） （第3题图） （第4题图）

3. 已知圆环内直径为cm，外直径为cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm.
4. 如图，已知PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P. 正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q. 若AB＝，其中，为整数，则___________.
（美国中学生数学邀请赛试题）
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，分别为△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的内切圆. 已知AB＝1. 则⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
（太原市竞赛试题）

（第5题图） （第6题图） （第7题图）
6. 如图，⊙O1与⊙O2内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2，交⊙O2于点C，D. 若AC：CD:BD＝2:4:3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（ ）
A. 2:3 B. 2:5 C. 1:3 D. 1:4
7. 如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O1与⊙O2的半径之比为（ ）
A. 2:5 B. 1:2 C. 1:3 D. 2:3
（全国初中数学联赛试题）
8. 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
（1）求证：
（2）当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长. （黄冈市中考试题）


9. 如图，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B，C. 连接BA并延长交⊙O1于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E，F.
（1）求证：CD是⊙O1的直径；
（2）试判断线段BC，BE，BF的大小关系，并证明你的结论. （四川省中考试题）


10. 如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F，AD，BE相交于点G，连接BD.
（1）求BD的长；
（2）求的度数；
（3）求的值. （淄博市中考试题）

11. 如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1与△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P. 求证：P为CH的中点. （“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）

12. 如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M. 求证：MP分别与⊙A，⊙B相切. （“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）







圆与圆的位置关系
例1 提示：连接必过点O，则⊥AB，设⊙，⊙的半径为xcm，在Rt△中，有，解得x= .
例2 D 提示：连接AB，，，作⊥，则，即，得，同理，，，由得，故.
例3 提示：⑴过P点作两圆的公切线. ⑵即证.
例4 ，，则为的平分线，又，故.
例5 ⑴过D作DQ⊥BC于Q，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ= ，故（0 ⑵分两种情况讨论：①当⊙P与⊙D外切时，如图1，QC=2，PC=x，QP= ，PD=x+ ，DQ=2，在Rt△DQP中，由得，，.
②当⊙P与⊙D内切时，如图2，PC=x，QC=2，PQ=x-2，PD=x- ，DQ=2，在Rt△DPQ中，由得，，.
例6 就图1给出解答：连接CP并延长交AB于点Q，连接BP，得∠BPC90°，又，得AQ=QB=AB，在Rt△CQP中，. 过Q作QM∥BC交AN于M，则MQ= . 由△MQP∽△NCP，得，故＝ .

A 级1．或 2. 2 3．y＝＋x(0＜x＜4) 4. 3条 5．D 6．D 　7．B 　8．D　 9．提示：(1)连结AB ，A ，并延长交⊙ 于E，连结CE． (2)结论仍然成立． 10．(1)略 (2)提示：设AP＝3t，由BC·BH＝BP·BA，BH＝2BC，BC＝t. 易证△HAP∽△BAH，得HA＝t，故＝. 11．连结BD，CE，作BM⊥CE于M，作HN⊥CE于N，则BM∥HN．∵H是BC的中点，故N是CM的中点，∴CN＝CM＝（CE－EM）＝(CE－BD)，而AH＝BH－AB＝BC－AB＝ (AB＋AC) –AB＝(AC－AB)，因此CN＝AH．由CE⊥DE，AF⊥DE，得CE//AF，故∠NCH＝∠HAF，又∠CNH＝∠AHF＝90°，得△CNH≌△AHF，从而BC＝2CH＝2AF.
12. (l):2 提示：由题意，设正方形边长为l，则，得R:l＝:2．由 ＝AD×DB，DE＝10，得AD×DB＝l00．设AC与内切圆交点S，CB与内切圆交点H，设AD＝r，DB＝．AB＝x＋，
AS＝AD＝x ，BH＝BD＝ ．又△ABC为直角三角形。∴，即（四边形OSCH为正方形），解得x＋＝21，故AB＝AD＋BD＝21．
B 级1. 4± 2. 6 3. 49a＋b提示：当圆环为3个时，链长为3a＋ ×2＝2a＋b(cm)；当圆环为50个时，链长为50a＋×2＝49a＋b( cm)． 4. 312提示：设O为大圆圆心，R为AB与PQ的交点，AB＝x， OQ＝x－10，AR＝，解得x＝8± x>0，则x＝8＋ 5. C 提示： －一个内切圆的面积．
6．C 7．C提示：设另一条公切线与⊙ 切于点C，与⊙ 切于点D，过 作，则由对称性可得∠CB＝∠CA＝∠AB＝120°． 8．(1)略 (2)AD＝12. 9．提示：(1)过A点作两圆的内公切线，连结AC． (2)BE＝BF＝BC，，由△ABE∽△EBD得＝BA·BD，∠CBE＝∠BEF＝∠FBE． 10．(1)BD＝l0 (2)连结OB． C，F分别为AB ，BE中点，BC＝BF，AB＝BE， ∠OBD＝∠D，∠ABE＋∠D＝ 90°，故∠ABE＋2∠D＝180°. (3)连结BO并延长交AE于H，连结OC，H为AE中点．BH⊥AE，AB＝24，由△BOC∽△BAH，得∴AH＝，AE＝，又△BGD∽△AGE，则． 11．如图，延长AP交⊙ 于点Q，连结AH，BD，QB，QC， QH，∵AB为⊙的直径，∴∠BDA＝∠BDQ＝90°，故BQ为⊙ 的直径，于是CQ⊥BC，BH⊥HQ. 又∵点H为△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，所以AH//CQ，AC//HQ，即四边形ACQH为平行四边形，∴P为CH的中点． 12．连结AC，AD，BC，BD，并且过C，D两点分别作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴，两式相减得(PA＋ PB) (PA－PB) ＝AB(AE－BF) ＝AB(PA－PB). 于是AE－BF＝PA－PB，即PA－AE＝PB－ BF，∴PE＝PF，也就是说点P是线段EF的中点，因此MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MP⊥AB，从而可得MP分别与⊙A与⊙B相切．