【中考冲刺】初三数学培优专题 04 根与系数关系（含答案）（难）

根与系数关系

阅读与思考

   根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定

理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：

    1．求方程中字母系数的值或取值范围；

    2．求代数式的值；

    3．结合根的判别式，判断根的符号特征；

    4．构造一元二次方程；

    5．证明代数等式、不等式．

    当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找

到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．

例题与求解

【例1】设关于的二次方程(其中为实数)的两个实数根的倒数和为，则的取值范围是_________.

             【例2】 如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数的取

             值范围是_________.

   A．        B．        C．       D．

【例3】已知，是方程的两根，且．不解方程，求的值．

【例4】 设实数分别满足并且，求的值．

【例5】（1）若实数满足，，求代数式的值；

（2）关于的方程组有实数解，求正实数的最小值；

（3）已知均为实数，且满足，，求的值．

【例6】 为实数，，且，证明一元二次方程有大于而小于1的根．

能力训练

A级

1．已知，为有理数，且方程有一个根是，那么=            ．

2．已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，则的值为              ．

3．当=        时，关于的方程的两根互为相反数；

 当           时，关于的方程的两根都是正数；当            时，关于的方程有两个大于的根．

4．对于一切不小于2的自然数．关于的一元二次方程的两根记为

则           ．

5．设是方程的两个实根，且，则的值为（   ）

A．           B．             C．              D．的一切实数

6．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则

（        ）

   A．          B．             C．          D．

7．设是方程的两个不等的实数根，则是（         ）

   A．正数          B．零             C．负数          D．不大于零的数

8．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于的方程

的根，那么的值是（         ）

   A．           B．5           C．          D．

9．已知关于的方程：．

（1）求证：无论取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若这个方程的两个根是，且满足求的值及相应的．

10．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

11．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，过C点作CD⊥AB于D，设AD＝m，BD＝n，且AC2：BC2＝2：1；又关于的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．

12．已知是正整数，关于的方程有正整数解，求的值．

B级

1．设，是二次方程的两根，则=　              　．

2．已知，且有及则             ．

3．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则       ．

4．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为            ．

5．如果方程（＞0）的两根之差为1，那么等于（     ）

A．2         B．4          C．             D．

6．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 (      )

A．1         B．12           C．13          D．25

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，、是关于

的方程的两根，那么AB边上的中线长是 (     )

    A．          B．         C．5            D．2

8．设，且，则代数式的值为（      ）

A．5            B．7           C．9             D．11

9．已知为整数，，且方程的两个根满足关系式．试求所有整数点对．

10．若方程的两根也是方程的两根，其中均为整数，求的值．

11. 设是方程的两根，，是方程的两根，已知．求证：

（1）；

（2）．

12．设是不小于的实数，使得关于的一元二次方程有两个不相等实数根．

（1）若，求的值；

（2）求的最大值．

13．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值．

根与系数的关系

例1.  且

例2.  C   提示: 设三根为,则

例3.   设    ①       ②    解由① ②联立的 方程组得

例4.  故第一个等式可变形为 又是一元二次方程 的两个不同实根, 则即

 故

例5.  (1) 当时, 原式=2; 当时, 原式=-20,  故原式的值为2或-20

   (2) 由方程组得易知是一元二次方程

 的两个实数根,, 即,

 由为实数知, 解得故正实数的最小值为

   (3) 与是方程的两个实根,解得或原式=．

例6 解法一：∵ac＜0，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x1，x2，且x1<0<x2，由韦达定理得x1+ x2=，，由，得，即，解得，假设，则，由推得不成立，故；假设，则，由推得，矛盾．故，综上所述．解法二：设，由条件得，

得，

．若，，则，；若，，则，．∴时，总有，故原方程必有一根介于与1之间．

A级 1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤ 提示：，与，不等价．

4． 提示：由条件得，，则，则． 5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1） （2），m=4或m=0． 10．（1）且 （2）存在k=4 11．由题意得，．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4． 12．设方程两根为，，则∵m，n，，均为正整数，设，，则，即有，则

∴故

B级 1．0 提示：由条件得，，∴，，∴，

∴原式=．又∵,∴原式=0． 2． 3．5 4． 提示：，原式=． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．，由根与系数关系得，即，a-b=1．又由得，从而．由a-b=1，，得满足条件的整数点对（a，b）是（1,0）或（0，-1）． 10，，．

11．a+b=3,c+d=4,ab=1,cd=2,a+b+c+d=7,．

 (1)原式=

（2）原式=

．

12．（1）． （2）原式=．

∵,∴当m=-1时，的最大值为10． 13．设的两根分别为（其中为整数且），则方程的两根分别为，又∵，两式相加，得，即，从而，或，解得，或，∴，或，∴或29．