2021-2022学年四川省成都市天府七中执诚学部八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2021-2022学年四川省成都市天府七中执诚学部八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共8小题，共32分）   年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.    下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D.    如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D.    若关于的分式方程的解为，则值为(    )A.  B.  C.  D.    顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(    )A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形
C. 矩形 D. 对角线互相垂直的四边   某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是(    )A.  B.
C.  D.    如图，直线经过和两点，且与直线交于点，则不等式的解集为(    )A.
B.
C.
D.    如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线，就可以判断，其推理依据是(    )A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形二、填空题（本题共10小题，共40分）   分解因式：______．已知一个正多边形的一个内角是其相邻外角的倍，则该多边形的边数是______．若，是方程的两个根，则______．如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，若于点，是的角平分线，，则的长为______．
 如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为______．
 若关于的分式方程上有正根，则的取值范围为______．已知等腰的底边长为，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为______．若关于的不等式有且只有四个整数解，且一次函数的图象不经过第三象限，则符合题意的整数的值为______．如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线段的最小值为______．
 定义在平面直角坐标系中，点，的折线距离根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点，若平面中有一动点，满足到的折线距离为，则点的轨迹为以为中心，为边长的正方形如图所示，若点，动点满足动点到点，的折线距离之和为已知动点的轨迹与轴、轴均有两个公共点．

动点的轨迹与轴公共点的坐标为______．
动点的轨迹交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，在运动过程中，面积的最大值为______．三、解答题（本题共8小题，共78分） 解一元二次方程：．
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．
画出将向左平移个单位长度得到的；
画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
求线段在旋转过程中扫过的面积．
如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，其中，可分别绕点，转动，测量知，为用眼舒适，经市场调研小组多次试验发现，当，转动到，时，人们的感受最为舒适，求此时点到的距离．结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，是的角平分线，交直线于点．
求点的坐标；
如图，是的角平分线，过点作的垂线交于点，交轴于点求直线的解析式；
在轴上寻找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点为线段的中点．
求证：；
若，分别是，的中点．
判断的形状并证明你的结论；
当，且时，求平行四边形的面积．
某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍．
求甲、乙两种电视机的售价；
经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价．
如图，在平面直角坐标系中，将含的直角三角板的顶点放于点，较长的直角边，所在直线与轴所成锐角为将三角板沿翻折，点的对应点为点．
求点的坐标；
在轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标；
设点，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点，点是平面上的一点，四边形是否可能为菱形，且？若存在，求出菱形的面积，若不存在，请说明理由．
在矩形中，，点在线段上，点在线段上，且．
【基础探究】如图，当，，，求的长；
【类比运用】如图，当，，，求的长；
【拓展迁移】如图，当，连接，与线段，相交于，两点，若，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 2.【答案】 【解析】解：、右边不是积的形式，错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
C、是平方差公式，，正确；
D、结果不是整式的积，错误．
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
 3.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又平分，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，再证，得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，用代入法求的值．
【解答】解：分式方程的解为，
，
解得．
故选C．  5.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，
故AC．
故选：．
根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．
本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．
 6.【答案】 【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意得：
，
故选：．
设每次降价的百分率为，根据一次降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 7.【答案】 【解析】解：从图象可以看出，当时，，
故选：．
从图象确定时，的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出的值，是解答本题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：．
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：


．
根据题目中的式子先化简，再利用平方差公式可以进行因式分解．
本题考查因式分解运用公式法，解答本题的关键是明确因式分解的方法．
 10.【答案】 【解析】解：设这个正多边的外角为，由题意得：
，
解得：，
．
故答案为：．
设这个正多边的外角为，则内角为，根据内角和外角互补可得，解可得的值，再利用外角和除以外角度数可得边数．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意，，
．
故答案为：．
欲求的值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．
 12.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，．
在中，
．
正方形的对角线，交于点，
．
于点，
．
是的角平分线，
．
在和中，
．
≌．
．
．
故答案为：．
根据于点，是的角平分线，证明≌，得到，再利用正方形的性质求出的长，则利用求出的长．
本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质对角线相等且互相平分是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：四边形为菱形，
，
依题意．题中作图为作边垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，

由勾股定理得：
，
故答案为．
根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知，，即，则可利用勾股定理求得，从而求得．
此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义．
 14.【答案】解：，
，
，
，


，
，
，；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 【解析】先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程公式法，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 15.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，；

由勾股定理得，
线段在旋转过程中扫过的面积为． 【解析】根据平移的性质即可画出图形；
根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点的坐标；
由勾股定理得，再代入扇形面积公式即可．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 16.【答案】解：过点作，过点作，垂足分别为、，过点作，垂足为，

则，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点到的距离约为． 【解析】过点作，过点作，垂足分别为、，过点作，垂足为，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再求出的度数，从而求出的度数，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 17.【答案】解：过点作于点，如图所示：

根据题意，可设点坐标为，
，，
，是的角平分线，
，
，
，
，
解得，
点坐标为；
是的角平分线，
，
于点，
，
又，
≌，
，
当时，，
点，，
当时，，
点，
，
根据勾股定理，得，
，
点坐标为，
设直线的解析式为，
代入点和，
得，
解得，
直线的解析式为；
设点坐标为，
，，，
，，
为等腰三角形，分情况讨论：
，
，
解得或，
点坐标为或；
，
，
解得或舍去，
点坐标为；
，
，
解得，
点坐标为，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或． 【解析】过点作于点，设点坐标为，根据已知条件易证，列方程求解即可；
先证明≌，可得，再求出点和点坐标，根据勾股定理，求出的长度，进一步即可确定点坐标；
设点坐标为，为等腰三角形，分情况讨论：，，，分别列方程求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，角平分线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键，本题综合性较强，注意等腰三角形分情况讨论．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
是等腰三角形，
点为线段的中点，
，
；
解：的形状为等腰三角形，理由如下：
是等腰三角形，是中点，
，
，
为中点，
，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
解：四边形是平行四边形，
，，，，
、分别是、的中点，
，是的中位线，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由得：，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或不合题意，舍去，
，
，
． 【解析】由平行四边形的性质易证，再证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得出，即可得出结论；
易证，由为中点，得出，再由、分别是、的中点，得出，由平行四边形的性质得，即可得出，则是等腰三角形；
先证四边形是平行四边形，得出，，再证、、都是等腰直角三角形，设，则，，由勾股定理求出，得出，，最后由，即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
 19.【答案】且 【解析】解：去分母得：
，
移项，合并同类项得：
，
．
关于的分式方程上有正根，分式方程有可能产生增根和，
，
解得：且．
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，再依据题意列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，考虑分式方程有可能产生增根是解题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：由题意知方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
原方程为：，
解得：，
则三角形的三边长度为、、，
则的周长为，
故答案为：．
由题意知方程有两个相等的实数根，据此得出的值，再利用三角形的周长公式可得答案．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
 21.【答案】， 【解析】解：解不等式组得：，
关于的不等式有且只有四个整数解，
其整数解为：，，，，
，即，
一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得，
由可得，
符合题意的整数的值为，，
故答案为：，．
根据关于不等式组有且只有四个整数解得出的取值范围，再由一次函数的图象不经过第三象限得出取值范围，再找出其公共解集，取符合条件的整数即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：如图，连接，以为边作等边三角形，连接，

是等边三角形，点是的中点，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当点在线段上时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 23.【答案】，   【解析】解：设的轨迹与轴的交点坐标为：，
由题意得，
，
解之得，
或，
点的轨迹与轴的交点坐标为：或，
故答案为：或；
设点，

，，
当时，
当时，，
，
当时，，
当时，，
当时，
当时，，
当时，舍去，
当时，，
当时，
当时，，
当时，，
当时，，
的图象如下图：


设的解析式为：，
，
，
，
当时，
，
，
由得，
，
，
，
故答案为：．
设的轨迹与轴的交点坐标为：，可得出，进一步得出结果；
分类讨论，求出每一段的函数关系式，画出点的运动轨迹，进而求得结果．
本题考查了在新定义的基础上如何分类讨论，去绝对值，得出分段函数的解析式等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
 24.【答案】解：设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元，
则，
解得：，
经检验，是方程的解，也符合题意，
，
答：甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元；
由知，第一季度甲种电视机售价是元台，销售量为台，
由图象可知，当售价是元台时，销售量是台，
设甲型电视机售价元与销售量台的关系为，
，
解得，
，
设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台，
甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，
，
解得，
商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元，
，
整理化简得，
解得或，
，
舍去，
，
此时，
答：第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台． 【解析】设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元，可得，解方程并检验可得甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元；
设甲型电视机售价元与销售量台的关系为，待定系数法可得，设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台，根据甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，得，而商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元，有，可解得或舍去，从而可得第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台．
本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 25.【答案】解：如图，

设与轴交于，直线交轴于，
由题意得：，
，
，
在中，，，
设，则，
，
，舍去，
，
，
，
，
；
如图，

设交轴于，交轴于，
作直线于，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
当在的左侧时，，
或；
如图，

存在符合条件的四边形，
当点在点处时，点在点处或在点关于的对称点出处时，四边形是菱形，且，
． 【解析】设与轴交于，直线交轴于，可推出轴，进而求得，进一步得出结果；
设交轴于，交轴于，作直线于，可求得上的高为，从而求得，进一步求得结果；
当点在点处时，点在点处或在点关于的对称点出处时，四边形是菱形，且，菱形的面积是三角形面积的倍．
本题主要考查了的直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用好的直角三角形．
 26.【答案】【实践探究】
解：四边形是正方形，
，，
由旋转得：≌，
，，，，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
；
如图，

作正方形，延长交于，作于，将绕点逆时针旋转至，
可得：，
由得：，，
设正方形得边长，
在中，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
；
【拓展迁移】如图，

作于，将绕点逆时针旋转至，延长交的延长线于，作于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
不妨设，则，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
． 【解析】当时，矩形是正方形，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到易证：≌，从而得；
作正方形，延长交于，作于，将绕点逆时针旋转至，正方形得边长，在中，求得，从而求得，根据∽求得，，进一步可求得结果；
作于，将绕点逆时针旋转至，延长交的延长线于，作于，设，，可求得，，在中，求得，不妨设，则，依次求得，，，，，根据，，进而求得，从而求得结果．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解直角三角形，旋转的性质等知识，本题综合性强，解决问题的关键是作旋转的辅助线及较强的计算能力．