四川省眉山市天府新区视高学区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

四川省眉山市天府新区视高学区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列各式：，，，，，，中，分式有个．

A.  B.  C.  D.

2. 某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为米．

A.  B.  C.  D.

3. 是方程的解，则函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 点关于轴对称点是

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 若点在第四象限，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 若点、和分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是

A.  B.
C.  D.

9. 若把分式的、同时缩小倍，则分式的值    

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 缩小倍

10. 百米赛跑中，队员所用的时间秒与其速度米秒之间的函数图象应为

A.  B.  C.  D.

11. 如果是任意实数，则点一定不在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

12. 如图，已知点坐标为，直线与轴交于点，连接，，则的值为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 当 ______ 时，分式没有意义．
14. 在函数中，自变量的取值范围是______．
15. 若关于分式方程有增根，则______．
16. 已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则______．
17. A、两点在双曲线上，分别经过、两点向轴作垂线段，已知，则 ______ ．
    
     

18. 正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是______，点的坐标是______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：；
    化简：．
20. 解分式方程：
    
     
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 年月日，四川雅安发生了级地震．在抗震救灾活动中，重庆某厂接到一份订单，要求生产顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加，且必须提前天完成生产任务，该厂迅速加派人员组织生产，实际每天生产的顶数是原计划每天生产的顶数的倍，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷？
23. 如图，，，动点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向上移动，且过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒．
    当时，求的解析式；
    若点，位于的异侧，确定的取值范围；
    直接写出为何值时，点关于的对称点落在坐标轴上．

24. 由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
    今年甲型号手机每台售价为多少元？
    为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为元，乙型号手机每台进价为元，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共台，请问有几种进货方案？
    若乙型号手机的售价为元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使中所有方案获利相同，应取何值？
25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    求直线与轴的交点的坐标及的面积；
    根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．

26. 在一条直线上依次有、、三个港口，甲、乙两船同时分别从、港口出发，沿直线匀速驶向港，最终达到港．设甲、乙两船行驶后，与港的距离分别为、，、与的函数关系如图所示．
     

填空：、两港口间的距离为______，______；
求图中点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
若两船的距离不超过时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时的取值范围．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，，的分母中含有字母，因此是分式，故分式有个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：把代入，得，
解得，
所以函数为，
函数的图象经过第一、二、四象限，
所以函数的图象不经过第三象限．
故选：．
先把代入得，则函数为，然后根据一次函数的性质求解．
本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．也考查了一次函数的性质．
 

4.【答案】

【解析】解：关于轴对称点是，
故选：．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
则原式，
故选B
已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：点在第四象限，
，
解得．
故选A．
根据第四象限点的横坐标大于，纵坐标小于列出不等式求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意，得点、在第二象限，在第四象限，
最小，
，
，
．
故选：．
判断出各个点所在的象限，根据反比例函数的增减性可得其中两组点的大小关系，进而比较同一象限点的大小关系即可．
考查反比例函数图象上点的坐标的特点；用到的知识点为：第二象限点的纵坐标总大于第四象限点的纵坐标；在同一象限内，比例系数小于，随的增大而增大．
 

8.【答案】

【解析】解：分两种情况讨论：
当时，与轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，的图象在第一、三象限；
当时，与轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，的图象在第二、四象限．
故选C．
根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小 倍，就将原来的数乘以 或除以 ．
要把 ， 同时缩小 倍，即将 ， 用 代换，就可以解出此题．
【解答】
解： ，
分式的值不变．
故选： ．   

10.【答案】

【解析】解：根据题意可知时间秒与速度米秒之间的函数关系式为：，所以函数图象大致是．
故选：．
根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量的取值范围，结合自变量的实际范围作图．
 

11.【答案】

【解析】解：，
点的纵坐标一定大于横坐标，
第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
纵坐标一定小于横坐标，
点一定不在第四象限，
故选：．
先判断点的横坐标与纵坐标的大小关系，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了点的坐标，利用作差法求出点的横坐标大于纵坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

12.【答案】

【解析】解：由直线，可知，
，
，
．
点的坐标为，
．
故选：．
根据三角函数求出点的坐标，代入直线，即可求得的值．
本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识，注意直线与轴的夹角为．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式无意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查函数自变量的取值范围，其中知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出 的值，代入整式方程计算即可求出 的值．
【解答】
解：去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
代入整式方程得： ，
解得： ，
故答案为：   

16.【答案】或

【解析】解：一次函数的图象不过第二象限，
，
解得，
而是整数，
则或．
故填空答案：或．
由于一次函数的图象不过第二象限，则得到，然后解不等式即可的值．
此题首先根据一次函数的性质，利用已知条件列出关于的不等式组求解，然后取其整数即可解决问题．
 

17.【答案】

【解析】解：根据题意得，
而，
所以，
所以．
故答案为：．
根据比例系数的几何意义得到，由得，然后计算．
本题考查了比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

18.【答案】；

【解析】解：的坐标为，点的坐标为，
正方形边长为，正方形边长为，
的坐标是，的坐标是：，
代入得，
解得：．
则直线的解析式是：．
，点的坐标为，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
据此可以得到的纵坐标是：，横坐标是：．
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
的横坐标是：，纵坐标是：．
则的坐标是
故答案为：，
首先求得直线的解析式，分别求得，，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式．

【解析】原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了实数的运算，以及分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解；
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】解：，
，
原式，
当时，原式．

【解析】先求出的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：设该厂原计划每天生产顶帐篷，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则实际生产为：顶．
答：该厂实际每天生产顶帐篷．

【解析】设该厂原计划每天生产顶帐篷，找出等量关系：实际每天生产的顶数是原计划每天生产的顶数的倍，且实际所用时间比原计划少天，可列出方程，求出的值即可．
本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

23.【答案】解：直线交轴于点，
由题意，得，，．
当时，，
故．

当直线过点时，
，
解得：，
，
解得．
当直线过点时，
，
解得：，
，
解得．
故若点，位于的异侧，的取值范围是：．

如右图，过点作直线，交轴于点，交轴于点，则点、为点在坐标轴上的对称点．
过点作轴于点，则，．
已知，则与均为等腰直角三角形，
，，
，．
，，
线段中点坐标为
直线过点，则，解得：，
，
解得．
，，
线段中点坐标为．
直线过点，则，解得：，
，
解得．
故点关于的对称点，当时，落在轴上，当时，落在轴上．

【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；
分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围；
找出点关于直线在坐标轴上的对称点、，如解答图所示．求出点、的坐标，然后分别求出、中点坐标，最后分别求出时间的值．
本题是动线型问题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质．难点在于第问，首先注意在轴、轴上均有点的对称点，不要漏解；其次注意点、坐标以及线段中点坐标的求法．
 

24.【答案】解：设今年甲型号手机每台售价为元，由题意得，
．
解得．
经检验是方程的解，且符合题意．
故今年甲型号手机每台售价为元．

设购进甲型号手机台，由题意得，
，
．
因为只能取整数，所以取、、、、，共有种进货方案．

设总获利元，购进甲型号手机台，则
，
．
所以当时，中所有的方案获利相同．

【解析】设今年甲型号手机每台售价为元，根据：去年的销售量今年的销售量，列方程求解；
设购进甲型号手机台，则购进乙型号手机台，根据：用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共台，列不等式组，求正整数的可能取值；
根据总利润甲型号利润乙型号利润，列出一次函数关系式，再求利润相同时，的取值．
本题考查了一次函数的应用．关键是根据售价，进价，利润之间的关系，列方程或函数关系式求解．
 

25.【答案】解：把代入得
反比例函数的解析式为，
又在反比例图象上，得，

把和代入，
，
一次函数的解析式为；

当时，得，
与轴的交点坐标是，


；

当或时，一次函数值大于反比例函数值．

【解析】根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据在函数图象上，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
根据一次函数的纵坐标为，可得点的坐标，根据三角形的和差，可得答案；
根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求反比例函数解析式、一次函数解析式的关键．
 

26.【答案】，；
由点求得，．
当时，设解析式为，由点，代入得：
，解得
则．
当时，，
解得，．
此时．
所以点的坐标为．
该点坐标的意义为：两船出发后，甲船追上乙船，此时两船离港的距离为．
当时，设，由点，得
，解得

依题意，解得，，不合题意；
当时，依题意，
解得所以；
当时，依题意，
解得所以；
当时，甲船已经到了而乙船正在行驶，
，解得，；
所以，当，甲、乙两船可以相互望见；
综上所述，当时或当时，甲、乙两船可以相互望见．

【解析】

解： 、 两港口间距离 ，
又由于甲船行驶速度不变，
故 ，
则 ．
故答案为： ； ．
见答案．
见答案．
【分析】
由甲船行驶的函数图象可以看出，甲船从 港出发， 后到达 港， 后到达 港，又由于甲船行驶速度不变，则可以求出 的值；
分别求出 后甲乙两船行驶的函数表达式，联立即可求解；
将该过程划分为 、 、 、 四个范围进行讨论，得到能够相望时 的取值范围．