高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质学案

  3.2.1　单调性与最大(小)值

最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．

第1课时　函数的单调性

知识点一　定义域为I的函数f(x)的单调性

　定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1<x2；

(3)属于同一个单调区间．

知识点二　单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．

[教材解难]

1．教材P77思考

f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；

f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．

2．教材P77思考

(1)不能　例如反比例函数f(x)＝－，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．

(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．

[基础自测]

1．下列说法中正确的有(　　)

①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－在定义域上是增函数；

④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

A．0个　　　　　　　　　B．1个

C．2个  D．3个

解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．

答案：A

2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)

A．m>  B．m<

C．m>－  D．m<－

解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.

答案：B

3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是(　　)

A．[0，＋∞)  B．(－∞，0)

C.  D.

解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是，故选D.

答案：D

4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．

解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.

答案：x1>x2

题型一　利用函数图象求单调区间[经典例题]

例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　)

A．(－3,1)∪(1,4)  B．(－5，－3)∪(－1,1)

C．(－3，－1)，(1,4)  D．(－5，－3)，(－1,1)

【解析】　在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．

【答案】　C

观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．

跟踪训练1　函数f(x)的图象如图所示，则(　　)

A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数

B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数

C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数

D．函数f(x)在[2,4]上是增函数

解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.

答案：A

根据图象上升或下降趋势判断．

题型二　函数的单调性判断与证明[教材P79例3]

例2　根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增．

【证明】　∀x1，x2∈(1，＋∞)，

且x1<x2，有

y1－y2＝－＝(x1－x2)＋

＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1)．

由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1.

所以x1x2>1，x1x2－1>0.

又由x1<x2，得x1－x2<0.

于是(x1x2－1)<0，

即y1<y2.

所以，函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增.

先根据单调性的定义任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，再判断f(x1)－f(x2)的符号．

教材反思

利用定义证明函数单调性的步骤

注：作差变形是解题关键．

跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，

∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.

∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．

∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

利用四步证明函数的单调性．

题型三　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]

例3　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

【解析】　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，

∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．

∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，

∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．

∴1－a≥4，解得a≤－3.

故a的取值范围为(－∞，－3]．

　首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解.

方法归纳

“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别

单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．

跟踪训练3　例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？

解析：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，

∴1－a＝4，a＝－3.

求出函数的减区间，用端点值相等求出a.

一、选择题

1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有(　　)

A．函数f(x)先增后减

B．f(x)是R上的增函数

C．函数f(x)先减后增

D．函数f(x)是R上的减函数

解析：由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．

答案：B

2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　)

A．y＝－3x＋2　　B．y＝

C．y＝x2－4x＋5   D．y＝3x2＋8x－10

解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.

答案：D

3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是(　　)

A．(－∞，1]            B．[2，＋∞)

C．(－∞，1]，[2，＋∞)  D．(－∞，＋∞)

解析：f(x)＝x|x－2|＝

作出f(x)简图如下：

由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．

答案：C

4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)  B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)     D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.

答案：C

二、填空题

5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是____________．

解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．

答案：[－1.5,3]和[5,6]

6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．

解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.

答案：(5，＋∞)

7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．

解析：画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．

答案：(－∞，0]，[2,4]

三、解答题

8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．

解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：

设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝，

由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，

又由x1<x2，得x1－x2<0，

于是f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．

9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．

解析：f(x)＝的图象如图所示．

由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．

[尖子生题库]

10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．

解析：∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，

且f(x－2)<f(1－x)，

∴解得1≤x<，

所以x的取值范围为1≤x<.