高考数学一轮复习考点规范练19同角三角函数的基本关系及诱导公式含解析人教版

考点规范练19　同角三角函数的基本关系及诱导公式

一、基础巩固

1.若,sin α=-,则cos(-α)等于 (　　)

A.- B

C D.-

答案:B

解析:因为,sinα=-,

所以cosα=,即cos(-α)=

2.已知tan(α-π)=,且,则sin(α+)等于(　　)

A B.- C D.-

答案:B

解析:∵tan(α-π)=,∴tanα=

又,

∴sin=cosα=-

3.sin+cos-tan等于(　　)

A.0 B

C.1 D.-

答案:A

解析:原式=sin+cos-tan6π+=sin+cos-tan-1=0.

4.(多选)若sin α=,且α为锐角,则下列结论中正确的有(　　)

A.tanα= B.cosα=

C.sinα+cosα= D.sin α-cosα=-

答案:AB

解析:∵sinα=,且α为锐角,

∴cosα=,故B正确;

tanα=,故A正确;

sinα+cosα=,sinα-cosα=,

故C,D错误.

5.已知=-5,则tan α的值为(　　)

A.-2 B.2

C D.-

答案:D

解析:由题意可知cosα≠0,则=-5,解得tanα=-

6.(2021辽宁沈阳高三检测)若sin θ=,则+的值为(　　)

A.0 B.1 

C.6 D.-6

答案:C

解析:原式====,

因为sinθ=,所以=6.

7.已知cos,且-π<α<-,则cos-α等于(　　)

A B.- 

C D.-

答案:D

解析:∵cos=sin,

且-π<α<-,-α<,

∴cos=-=-

8.(2021河北武邑中学高三月考)已知cos+cos(π+α)=,则tan α+=(　　)

A.2 B.-2 C D.3

答案:A

解析:∵cos+cos(π+α)=,

∴-sinα-cosα=,

即sinα+cosα=-,∴(sinα+cosα)2=2,

∴sinαcosα=,

∴tanα+=2.

9.已知cosθ=-(π<θ<2π),则sin θ=　　　　　;tan(π-θ)=　　　　　. 

答案:-　-

解析:因为cosθ=-(π<θ<2π),所以π<θ<,所以sinθ<0,所以sinθ=-=-,tan(π-θ)=-tanθ=-=-

10.若f(cosx)=cos 2x,则f(sin 15°)=　　　　　. 

答案:-

解析:f(sin15°)=f(cos75°)=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-

11.(2021上海卫育中学高三月考)若sin θ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则a=　　　　　. 

答案:1-

解析:由题意得所以a≥4或a≤0,且sinθ+cosθ=sinθcosθ=a,

所以(sinθ+cosθ)2=(sinθcosθ)2,即1+2sinθcosθ=(sinθcosθ)2,即a2-2a-1=0,

因为a≥4或a≤0,所以a=1-

12.已知k∈Z,则=　　　　　. 

答案:-1

解析:当k=2n(n∈Z)时,

原式===-1;

当k=2n+1(n∈Z)时,

原式===-1.

综上,原式=-1.

二、综合应用

13.已知2tan αsin α=3,-<α<0,则sin α等于 (　　)

A B.- C D.-

答案:B

解析:∵2tanαsinα=3,=3,即2cos2α+3cosα-2=0.

又-<α<0,

∴cosα=或cosα=-2(舍去),

∴sinα=-

14.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-,则sin α等于(　　)

A.- B C.- D

答案:D

解析:终边在直线y=x上的角为kπ+(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+(k∈Z).

又β=-,所以α=2kπ+(k∈Z),即得sinα=

15.已知sin,则sin+cos(-x)的值为(　　)

A.0 B C D.-

答案:C

解析:因为sin,所以sin+cos(-x)=sin+cos[-(x+)]=2sin(x+)=2

16.sin21°+sin22°+…+sin290°=　　　　　. 

答案:

解析:sin21°+sin22°+…+sin290°

=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos21°+sin290°

=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°+sin290°

=44++1=

三、探究创新

17.(多选)下列说法中正确的是(　　)

A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角

B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cosα=

C.若(k∈Z),则tan

D.若sin α+cosα=1,则sinnα+cosnα=1

答案:CD

解析:由诱导公式知当α∈R时,sin(π+α)=-sinα,所以A错误;

当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cosα,此时cosα=,当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cosα,此时cosα=-,所以B错误;

若(k∈Z),则tan=-,所以C正确;

将等式sinα+cosα=1两边平方,得sinαcosα=0,所以sinα=0或cosα=0,若sinα=0,则cosα=1,此时sinnα+cosnα=1,若cosα=0,则sinα=1,此时sinnα+cosnα=1,故sinnα+cosnα=1,所以D正确.

18.已知函数f(x)=asin+btan(a,b为常数,x∈R).若f(1)=1,则不等式f(31)>log2x的解集为　　　　　. 

答案:(0,2)

解析:因为f(31)=asin+btan31=asin+btan=f(1)=1,

所以由f(31)>log2x,

即1>log2x,解得0<x<2.