初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件学案设计

这是一份初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件学案设计，共53页。


【三边分别相等的两个三角形全等,SSS】
(2022河池)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF.
求证:∠ACB=∠DFE;
连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状.
2.(2021八上·南京期末)如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点E在BC上.
求证:∠EAC=∠BAD;
（2）若∠EAC=42∘，求∠DEB的度数.
3.(2021八上南岗期末)已知:AD=BC，AC=BD.
（1）如图1，求证:AE=BE;
（2）如图2，若AB=AC，∠D=2∠BAC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个度数为36∘的角.
（2021八上·鞍山期末）如图，AC与BD交于点O,AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.证明
(1)∠D=∠B;
(2)AC与BD互相平分.
5.(10分)(2021八上双辽期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30∘，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30∘，点E是BD延长线上一点,AE=AB.
（1）求∠ADB的度数；
(2)线段DE，AD，DC之间有什么数量关系?请说明理由.(提示:在线段DE上截取线段EM=BD，连接线段AM或者在线段DE上截取线DM=AD连接线段AM).
【两边及其夹角分别相等的两个三角形】
6.(2022八上海曙期中)如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP=60∘，连结DP，DC,AD=DP.
（1）求证:△ADC≅△APB.
(2)若PA=12,PB=5,PC=13,求∠APB的度数.
7.(2022八上新昌期中)如图
(1)如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连结BE.求证:△ACD≅△BD.
(2)如图2，在△ABC中，AC=5,BC=13，D为AB的中点，DC⊥AC.求△ABC的面积.
8.(2022八上.青田月考)如图在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘.
(1)当点D在AC上时，如图(1)，求证:BD=CE.
(2) 将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角0∘<α<90∘，如图②，线段BD、CE仍相等吗?请说明理由.
(3)在图(2)中线段BD、CE有怎样的位置关系?请说明理由.
9.((2022八上柯桥月考)如图，△ABC与△ADE都是等边三角形(三条边都相等，三个内角都相等的三角形)，连接BD、CE交点记为点F.
（1）BD与CE相等吗?请说明理由.
(2)你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗?
（3）若将已知条件改为:四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连接BE、DG，交点记为点M(如图).请直接写出线段BE和DG之间的关系?
10.(2022九上温州开学考)如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E， A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连结BD，CE交于点M.
（1）求证:△ABD≅△ACE；
(2)若∠CAD=100∘，求∠DME的度数.
11.(2021九上-泗水期中)如图:
图1 图2 图3
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则:
∠ACE的度数是_______;
(2)线段AC，CD，CE之间的数量关系是_________;
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在Rt△DBC中，DB=3，DC=5，∠BDC=90∘，若点A满足AB=AC，∠BAC=90∘，请直接写出线段AD的长度.
【两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，ASA】
12.(2022七下.平远期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点
(1)如果CF//BE，说明:△BDE≌△CDF;
(2)若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系?并说明理由.
13.(2022八上柯桥月考)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60∘
(1)求∠BFC的度数.
(2)求证:BC=BE+CD.
14.(2022八上雨花开学考)已知:∠C=∠D，OC=OD.
(1)证明:△OAD≅△OBC；
(2)若∠O=72∘，∠C=20∘，求∠DAC的度数.
15.(2022:襄阳)如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的角平分线.
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证:AD=AE.
16.(2022七下钢城期末)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点E是AB边的中点，点F,G分别在AC，BC上，且EF⊥EG.
（1）求证:AF=CG；
(2)若AC=2，求四边形CFEG的面积.
17.(2022八下昭通期末)如图，直线AB，CD相交于点E，AD=BC，AD∥BC.
(1)求证:AE=BE；
（2）连接AC，BD，当∠AEC=90∘时，判断四边形ADBC的形状，并请证明你的结论.
【两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.AAS】
18.(2022八上绵阳月考)如图，在^ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E
(1)求证:CD=BE;
(2)若DE=3,BE=2,求AD的长.
19.(2022九上台州月考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F.
(1)如图(1)，过点A的直线与叙边BC不相交时，
求证:(1)△ABE≌△CAF ;
(2)EF=BE+CF.
(2)如图(2)，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若BE=10，CF=3，试求EF的长.
20.(2022八上拱埋月考)如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40∘，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连结AD，作∠ADE=40∘，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115∘时，∠BAD=________,∴∠DEC=__________°；
(2)当DC=AB=2时，△ABD与△DCE是否全等?请说明理由;
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状可以是等腰二角形吗?若可以，请直接写出∠AED的度数;若不可以，请说明理由.
21.(2022八下法库期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,CD⊥AB于点D，BO平分∠DBC，交CO于点O，OE∥AC,交AB于点E，连接CE.
（1）求证:△BOE≅△BOC；
(2)求证:CE平分∠ACD；
(3)若BC=10,BD=6，请直接写出OB的长度.
22.(2022七下长清期末)如图，已知点C、点D都在线段AF上，AC=DF，BC∥EF，∠B=∠E.求证:
△ABC≌△DEF
(2)AB∥DE
23.(2022七下·章丘期末)
（1）模型的发现:
如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线1经过点A，且B、C两点在直线l的同伅，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点DＥ.请直接写出DE、BD和CE的数量关系.
(2)模型的迁移1:位置的改变
如图2，在(1)的条件下，若B,C两点在直线l的异侧，请说明DE、BD和CE的关系，并证明.
（3）模型的迁移2:角度的改变
如图3，在(1)的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90∘<α<180∘，
(1)的结论还成立吗?若成立，请你给出证明;若不成立，请说明DE、BD和CE的关系，并证明.
24.(2022七下新城期末)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=35∘，E是BC边上一点且AE=CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE.
(1)求∠DAE的度数；
(2)若BD上存在点F，连接AF，且∠AFE=∠AEF，试判断BF与CE之间的数量关系，并说明理由.
【斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.HL】
25.(2022八上新昌期中)如图，在△ABC中，BE=BF，∠ABC=90∘，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
（1）求证:Rt△ABE≅Rt△CBF.
(2)延长AE交CF于点D，请判断直线AE与CF的位置关系。
26.(2022八上柳城期中)如图:在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2 EB.
27.(2022八下·永定期末)如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90∘.
（1）求证:△ACB≅△BDA；
(2)若∠ABC=31∘，求∠CAO的度数.
【答案】
【三边分别相等的两个三角形全等,SSS】
(2022河池)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF.
求证:∠ACB=∠DFE;
连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状.
证明如下：
∵AF=CD
∴AF+FC=CD+FC
即AC=DF
在△ACB和△DFB中
∵AB=DFAC=DFBC=EF
∴△ACB≌△DFE(SSS）
∴∠ACB=∠DFE
四边形BFEC是平行四边形
（EF//BC一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
2.(2021八上·南京期末)如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点E在BC上.
（1）求证:∠EAC=∠BAD;
（2）若∠EAC=42∘，求∠DEB的度数.
（1）证明如下：
在△EAD和△CAB中
∵AD=ABAE=ACDE=BC
∴△EAD≌△CAB(SSS）
∴∠EAD=∠CAB
∴∠EAD-∠EAB=∠CAB-∠EAB
即∠EAC=∠BAD
（2）若∠EAC=42°
则∠DAB=42°
∵△EAD≌△CAB
∴∠D=∠B
令AB与DE相交于点F
∵∠AFD=∠BFE
∴∠DEB=∠DAB=42°
3.(2021八上南岗期末)已知:AD=BC，AC=BD.
（1）如图1，求证:AE=BE;
（2）如图2，若AB=AC，∠D=2∠BAC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个度数为36∘的角.
（1）证明如下：
在△ABD和△BAC中
∵AD=BCAB=BAAC=BD
∴△ABD≌△BAC(SSS)
∴∠D=∠C
在△ADE和△BCE中
∵∠D=∠C∠DEA=∠CEBAD=BC
∴△ADE≌△BCE(AAS）
∴AE=BC
（2）∠CAB、∠ABE、∠CBE、∠DAE
（2021八上·鞍山期末）如图，AC与BD交于点O,AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.证明
(1)∠D=∠B;
(2)AC与BD互相平分.
证明如下：
在△ADE和△CBF中
∵AD=CBAE=CFDE=BF
∴△ADE≌△CBF(SSS)
∴∠D=∠B
由（1）可知∠D=∠B
在△AOD和△COB中
∵∠AOD=∠COB∠D=∠BAD=BC
∴△AOD≌△COB（AAS）
∴OB=OD，OA=OC
5.(2021八上双辽期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30∘，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30∘，点E是BD延长线上一点,AE=AB.
（1）求∠ADB的度数；
(2)线段DE，AD，DC之间有什么数量关系?请说明理由.(提示:在线段DE上截取线段EM=BD，连接线段AM或者在线段DE上截取线DM=AD连接线段AM).
在△ADB和△ADC中
∵AB=ACAD=ADBD=CD
∴△ADB≌△ADC(SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∵∠DCB=30°，BD=CD
∴∠CDE=2∠DCB=60°
∴∠ADB=12(180°+∠CDE)=120°
猜想：CD+AD=DE
在DE上截取一点M,使DM=AD
∵∠ADE=∠ADC-∠CDE=120°-60°=60°
∴△ADM是等边三角形
∴AM=AD，∠AMD=60°
∴∠AME=120°=∠ADB
∵AB=AE
∴∠ABD=∠AEM
在△ABD和△AME中
∵∠ABD=∠AEM∠ADB=∠AMEAB=AE
∴△ABD≌△AME
∴ME=BD=CD,
∵DM+ME=DE
即AD+CD=DE
M
【两边及其夹角分别相等的两个三角形】
6.(2022八上海曙期中)如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP=60∘，连结DP，DC,AD=DP.
（1）求证:△ADC≅△APB.
(2)若PA=12,PB=5,PC=13,求∠APB的度数.
∵△APD是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAD-∠PAC
即∠BAP=∠CAD
在△APB和△ADC中
∵AB=AC∠BAP=∠CADAP=AD
∴△APB≌△ADC(SAS）
（2）
∵△APB≌△ADC
∴CD=PB=5,
∵PD=AD=12，PC=13
在△PDC中
∵PD2+CD2=122+52=169
PC2=132=169
∴∠PDC=90°
∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=150°
∴∠APB=∠ADC=150°
7.(2022八上新昌期中)如图
(1)如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连结BE.求证:△ACD≅△BDE.
(2)如图2，在△ABC中，AC=5,BC=13，D为AB的中点，DC⊥AC.求△ABC的面积.
证明如下：∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ADC和△BDE中
∵AD=ED∠BDE=∠CDABD=CD
∴△ACD≌△BDE(SAS）
延长CD至点H,使CD=DH
连接BH
∵D为AB中点
∴AD=BD
在△ADC和△BDH
∵AD=BD∠ADC=∠BDHCD=DH
∴△ADC≌△BDH（SAS）
∴∠CHB=∠ACD=90°，BH=AC=5
在Rt△CHB中
∵BH=BC2−BH2=12
∴CD=12BH=6
∴S△ABC=2S△ADC=2×12CD×AC=30
8.(2022八上.青田月考)如图在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘.
(1)当点D在AC上时，如图(1)，求证:BD=CE.
(2) 将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角0∘<α<90∘，如图②，线段BD、CE仍相等吗?请说明理由.
(3)在图(2)中线段BD、CE有怎样的位置关系?请说明理由.
【解析】
只要证Rt△BAD≌Rt△EAC(SAS），再利用全等三角形的性质，说明BD=CE
线段BD与CE依旧相等；利用角度的和差关系，说明∠BAD=
∠CAE;再证△BAD全等于△CAE(SAS)
BD与CD位置关系式垂直，利用八字模型，∠BHC=∠BAC进行等量代换可证
9.((2022八上柯桥月考)如图，△ABC与△ADE都是等边三角形(三条边都相等，三个内角都相等的三角形)，连接BD、CE交点记为点F.
（1）BD与CE相等吗?请说明理由.
(2)你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗?
（3）若将已知条件改为:四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连接BE、DG，交点记为点M(如图).请直接写出线段BE和DG之间的关系?
【解析】
先利用角度的和差关系，说明∠BAD=∠CAE,再证△ABD≌△ACE(SAS），∴BD=CE
BD与CE的夹角∠BFC=60°。利用点A、B、C、F构造的八字模型
说明∠BFC=∠BAC=60°
（3）BE与DG互相垂直且相等；先证△ABE和△ADG旋转全等；再利用A、B、D、M所构造的八字模型，说明∠BMD=∠BAD=90°
10.(2022九上温州开学考)如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E， A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连结BD，CE交于点M.
（1）求证:△ABD≅△ACE；
(2)若∠CAD=100∘，求∠DME的度数.
【解析】
(1)手拉手旋转全等，先利用角度和差关系说明∠EAC=∠DAB(SAS）
易证△ABD≅△ACE（SAS）
若∠CAD=100°则∠EAM=12(180°−∠CAD)=40°
以E、A、M、D形成的八字模型，说明∠DME=∠DAE=40°
11.(2021九上-泗水期中)如图:
图1 图2 图3
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则:
（1）∠ACE的度数是_______;
线段AC，CD，CE之间的数量关系是_________;
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在Rt△DBC中，DB=3，DC=5，∠BDC=90∘，若点A满足AB=AC，∠BAC=90∘，请直接写出线段AD的长度.
【解析】
（1）∠ACE=∠B=12(180°-∠BAC)=60°；AC=CD+CE；
（2）∠ACE=∠ABC=45°；BD+CD=2AD；手拉手旋转全等模型，证△ABD≌△ACE(SAS)
由（2）可知，AD=42
【两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，ASA】
12.(2022七下.平远期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点
(1)如果CF//BE，说明:△BDE≌△CDF;
(2)若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系?并说明理由.
【解析】（1）∵CF//BE
∴∠DBE=∠DCF
∵AD是BC边上的中线，易证△BDE≌△CDF(SAS)属于倍长中线的全等模型；
（2）BF和CE平行，只要证出△BFC≌△CBE（SAS）,方法如一
13.(2022八上柯桥月考)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60∘
(1)求∠BFC的度数.
(2)求证:BC=BE+CD.
【解析】第一问属于半角模型，∠BEC=12∠A+90°=120°
（2）在BC上截取一点G,使得BE=BG；利用角平分线全等模型，分别证得△EBF≌△GBF（SAS）,△CGF≌△CDF(ASA)
∴BC=BG+CG=BE+CD
14.(2022八上雨花开学考)已知:∠C=∠D，OC=OD.
(1)证明:△OAD≅△OBC；
(2)若∠O=72∘，∠C=20∘，求∠DAC的度数.
【解析】
（1）易证△OAD≅△OBC（ASA）
（2）连接CD,∠DAC=∠O+∠D=∠O+∠C=92°
15.(2022:襄阳)如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的角平分线.
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证:AD=AE.
【解析】
（1）作法:①以C为圆心，以适当长为半径画弧，交CA和CB分别于两点M,N，再以M,N为圆心，同一半径画弧交于另外一点；
③将该点连接C点，与AB交于点E
（2）易证△ABD≌△ACE(AAS)
16.(2022七下钢城期末)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点E是AB边的中点，点F,G分别在AC，BC上，且EF⊥EG.
（1）求证:AF=CG；
(2)若AC=2，求四边形CFEG的面积.
【解析】(1)连接CE，易证△AEF≌△CEG（ASA）
(2)四边形CFEG的面积通过割补，等同△AEC的面积，即S四边形CFEG=S△AEC=12S△ABC=1
17.(2022八下昭通期末)如图，直线AB，CD相交于点E，AD=BC，AD∥BC.
(1)求证:AE=BE；
（2）连接AC，BD，当∠AEC=90∘时，判断四边形ADBC的形状，并请证明你的结论.
【解析】（1）证△ADE≌△CBE(AAS)
（2）平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.AAS】
18.(2022八上绵阳月考)如图，在^ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E
(1)求证:CD=BE;
(2)若DE=3,BE=2,求AD的长.
【解析】
（1）证△CBE≌△ACD（AAS）则CD=BE
（2）由（1）可知，BE=CD，AD=CE=CD+DE=3+2=5；
19.(2022九上台州月考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F.
(1)如图(1)，过点A的直线与叙边BC不相交时，
求证:(1)△ABE≌△CAF ;
(2)EF=BE+CF.
(2)如图(2)，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若BE=10，CF=3，试求EF的长.
【解析】
一线三等角的全等模型；△ABE≌△CAF（AAS）
由（1）可知，△ABE≌△CAF,EF=AE+AF=BE+CF=13
20.(2022八上拱埋月考)如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40∘，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连结AD，作∠ADE=40∘，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115∘时，∠BAD=________,∴∠DEC=__________°；
(2)当DC=AB=2时，△ABD与△DCE是否全等?请说明理由;
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以，请直接写出∠AED的度数;若不可以，请说明理由.
【解析】
（1）∠BAD=25°，∠DEC=115°
（2）△ABD≌△DCE（ASA）
（3）可以，①DE=AE②DA=DE,再具体分析即可；
21.(2022八下法库期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,CD⊥AB于点D，BO平分∠DBC，交CO于点O，OE∥AC,交AB于点E，连接CE.
（1）求证:△BOE≅△BOC；
(2)求证:CE平分∠ACD；
(3)若BC=10,BD=6，请直接写出OB的长度.
证明如下：
（1）角平分线全等模型，易证△BOE≅△BOC（AAS）
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠OCB=90°
∵CD⊥AB
∴∠OEB+∠EOD=90°
∴AC//OE
∴∠EOD=∠ACD
∴∠OCB=∠OED
∵BO平分∠DBC
∴∠OBE=∠OBC
在△OBE和△OBC中
∵∠OBE=∠OBC∠OCB=∠OEDOB=OB
∴△OBE≌△OBC（AAS）
由（1）可知，△OBE≌△OBC
∴OC=OE
∴∠OEC=∠OCE
∵AC//EO
∴∠OEC=∠ACE
∴∠ACE=∠OCE
∴CE平分∠ACD
22.(2022七下长清期末)如图，已知点C、点D都在线段AF上，AC=DF，BC//EF，∠B=∠E.求证:
(1)△ABC≌△DEF
(2)AB//DE
（1）证明如下：∵BC//EF
∴∠ACB=∠DFE
在△ABC和△DEF中
∵AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
由（1）可知
∵△ABC≌△DEF
∴∠BAC=∠EDF
∴AB//DE
23.(2022七下·章丘期末)
（1）模型的发现:
如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线1经过点A，且B、C两点在直线l的同伅，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点DＥ.请直接写出DE、BD和CE的数量关系.
(2)模型的迁移1:位置的改变
如图2，在(1)的条件下，若B,C两点在直线l的异侧，请说明DE、BD和CE的关系，并证明.
（3）模型的迁移2:角度的改变
如图3，在(1)的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90∘<α<180∘，
(1)的结论还成立吗?若成立，请你给出证明;若不成立，请说明DE、BD和CE的关系，并证明.
【解析】对于一线三等角的全等模型，利用SAS的判定定理，重点在于两组等边的夹角相等，常利用角度的和差关系。证明其相等；
再利用这组全等，找到对应边相等，进行线段的转化。
24.(2022七下新城期末)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=35∘，E是BC边上一点且AE=CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE.
(1)求∠DAE的度数；
(2)若BD上存在点F，连接AF，且∠AFE=∠AEF，试判断BF与CE之间的数量关系，并说明理由.
【解析】（1）利用等边对等角，三角形内角和定理以及互余关系，进行角度的转化；∠DAE=90°-∠AED=90°-（∠C+∠EAC）=90°-2∠B=20°
（2）BF=CE,只要证得△AFD≌△AED,得DF=DE,再利用BD=CD(等腰△ABC三线合一)，线段的和差关系。
【斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.HL】
25.(2022八上新昌期中)如图，在△ABC中，BE=BF，∠ABC=90∘，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
（1）求证:Rt△ABE≅Rt△CBF.
(2)延长AE交CF于点D，请判断直线AE与CF的位置关系。
【解析】
（1）∵∠ABC=90°
∴∠CBF=90°
在Rt△CBF和Rt△ABE中
∵AE=CFBE=BF
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL)
（2）AE⊥CF
证明如下:由（1）可知，Rt△CBF≌Rt△ABE
∴∠DCB=∠EAB
∵∠CED=∠AEB
∴∠CDE=∠CBA=90°
26.(2022八上柳城期中)如图:在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2 EB.
【解析】
先利用角平分线全等模型，证明Rt△CAD≌Rt△EAD(AAS)
∴CD=ED又BD=DF，∠FCD=∠BED=90°
∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL)
∴CF=EB
（2）由（1）可知，AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE
27.(2022八下·永定期末)如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90∘.
（1）求证:△ACB≅△BDA；
(2)若∠ABC=31∘，求∠CAO的度数.
【解析】
（1）利用HL的判定，证得△ACB≅△BDA；
（2）若∠ABC=31°，∴∠CAB=59°
∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=31°
∴∠CAO=∠CAB-∠OAB=28°