【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§4.1～§4.4)【讲义+习题】

再练一课(范围：§4.1～§4.4)

一、单项选择题

1．数列2,22,222,2 222，…的一个通项公式是(　　)

A．an＝10n－8   B．an＝

C．an＝2n－1   D．an＝

答案　D

解析　根据题意，设数列{cn}为9,99,999,9 999，…，其通项公式是10n－1，数列2,22,222,

2 222，…的每一项均是数列{cn}对应项的，则数列2,22,222,2 222，…的一个通项公式是an＝.

2．若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为(　　)

A．－3  B．3  C．±3  D．不能确定

答案　A

解析　因为数列－1，a，b，c，－9成等比数列，设等比数列的公比为q，则－9＝－1×q4，解得q2＝3, 所以b＝－1×q2＝－3.

3．已知等差数列中，a2＋a3＋a4＋a5＝14，则a1＋a6等于(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

答案　B

解析　因为数列是等差数列，利用等差数列的性质可知，a2＋a3＋a4＋a5＝＋＝＋＝2＝14，∴a1＋a6＝7.

4．设Sn是等差数列的前n项和，若＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　若数列为等差数列，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等差数列，

因为＝，所以＝，

则数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12是以S4为首项，以S4为公差的等差数列，

则S8－S4＝S4，S12－S8＝2S4，S16－S12＝S4，

所以S8＝S4，S16＝7S4，所以＝.

5．将数列{3n＋1}与{9n－1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a10等于(　　)

A．319  B．320  C．321  D．322

答案　B

解析　由题意知，数列是首项为9，公比为9的等比数列，所以an＝9n，则a10＝910＝320.

6．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为(　　)

A．辛丑年   B．庚子年

C．己亥年   D．戊戌年

答案　B

解析　由题意，可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，以1980年的天干和地支分别为首项，则100÷10＝10余数0，则2080年天干为庚，100÷12＝8余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年．

二、多项选择题

7.南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，则(　　)

A．a4＝12   B．an＋1＝an＋n＋1

C．a100＝5 050   D．2an＋1＝an·an＋2

答案　BC

解析　由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝，∴a4＝＝10，故A错误；an＋1＝an＋n＋1，故B正确；

a100＝＝5 050，故C正确；

若2an＋1＝an·an＋2，则2×＝，解得n＝1，所以当n＝1时，等式才成立，故D错误．

8．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　)

A．a4＝0   B．Sn的最大值为S3

C．S1＝S6   D．|a3|<|a5|

答案　AC

解析　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；

因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；

由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．

三、填空题

9．等差数列共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则an＋1＝________.

答案　29

解析　因为等差数列共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，记奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1－S2＝(a1＋a3＋…＋a2n＋1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝an＋1＝319－290＝29.

10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，数列{bn}满足bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝__________________.

答案　·4n－2n＋n＋

解析　因为数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，

所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1＋1

＝＋1＝＋1，

又a1＝1也满足上式，所以an＝＋1，

所以bn＝＝＋1＝－2n－1＋1，

所以Sn＝＋＋…＋＋

＝－(20＋21＋…＋2n－2＋2n－1)＋n＝－＋n

＝·4n－2n＋n＋.

11.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形中正方体的个数是________．

答案　7

解析　设从最底层开始的第n层的正方体棱长为an，则为以8为首项，以为公比的等比数列，

所以其通项公式为an＝8×n－1＝23×，令an＝1，得n＝7.

12．已知数列an＝其前n项和为Sn，则S100＝________.

答案　5 000

解析　由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100

＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)

＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)

＝5 000.

四、解答题

13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.

(1)证明：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

(1)证明　∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，两式相减得an＋1＝1＋5an－5an＋1，

整理得an＋1＝an＋，

∴an＋1－1＝(an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列．

(2)解　由(1)可知an－1＝－15×n－1，

∴an＝1－15×n－1.

14．已知公差不为零的等差数列{an}满足S5＝35，且a2，a7，a22成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.

(1)解　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．

由题意得

则

化简得解得

所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

(2)证明　bn＝＝＝＝，

所以Tn＝

＝

＝－<.

15．已知等比数列{an}满足a2＝6,6a1＋a3＝30.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若a1>2，设bn＝nan(n∈N*)，记数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn.

解　(1)设等比数列{an}的公比为q，

由a2＝6，可得a1q＝6，①

又因为6a1＋a3＝30，可得6a1＋a2q＝30，

即a1＋q＝5，②

由①②可得或故{an}的通项公式为an＝2×3n－1或an＝3×2n－1.

(2)由(1)及a1>2可知an＝3×2n－1，

所以bn＝n·an＝n·2n(n∈N*)，

所以Sn＝1×21＋2×22＋…＋n·2n，③

2Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，④

由③－④得，－Sn＝21＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，

所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.