【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§4.1～4.3.2)【讲义+习题】

再练一课(范围：§4.1～4.3.2)

一、单项选择题

1．已知数列中，a1＝2，an＝1－(n≥2)，则a2 022等于(　　)

A．－1  B．－  C.  D．2

答案　A

解析　因为a1＝2，所以a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…

所以是周期为3的周期数列，所以a2 022＝a3×673＋3＝a3＝－1.

2．已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2(a2－a1)等于(　　)

A．8  B．－8  C．±8  D.

答案　A

解析　设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则有1＋3d＝9,1·q4＝9，

解得d＝，q2＝3，

∴b2＝1×q2×＝8.

3．已知等差数列的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16等于(　　)

A．120   B．60

C．160   D．80

答案　A

解析　因为等差数列的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，

所以S9＝9a5＝54,3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝＝＝120.

4．设等差数列的前n项和为Sn，等差数列的前n项和为Tn，若＝.则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为＝，所以＝＝，

因为Sn是等差数列的前n项和，Tn是等差数列的前n项和，

所以S9＝＝9a5，T9＝＝9b5，

则＝＝，＝.

5．已知正项数列满足a－2a－an＋1·an＝0，设bn＝log2，则数列的前n项和为(　　)

A．n   B.

C.   D.

答案　C

解析　因为a－2a－an＋1·an＝0，

所以(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，

又an>0，

所以＝2，

所以数列是等比数列，

所以an＋1＝a1·2n，

所以bn＝log2＝log22n＝n，

所以数列的前n项和Sn＝.

6．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶．据此可推得(　　)

A．“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列

B．“宫”“徵”“商”的频率成公比为的等比数列

C．“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列

D．“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列

答案　C

解析　设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，

“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，

“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为a，

最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，

由于a，a，a成等比数列，所以“宫”“商”“角”的频率成等比数列，且公比为.

二、多项选择题

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　)

A．a5＝1   B．Sn的最小值为S3

C．S1＝S6   D．Sn存在最大值

答案　AC

解析　因为a1＋3a5＝S7，

所以a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋d，

又因为d＝1，解得a1＝－3.

对于选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确；

对于选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，

因为a1＝－3<0，a3＝－1<0，a4＝0，a5＝1>0，

所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；

对于选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，

又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；

对于选项D，因为a1＝－3<0，d＝1>0，所以Sn无最大值，故D错误．

8．已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于(　　)

A．－2  B．2  C．－8  D. 8

答案　BD

解析　由已知得

解得或

故a＝2或a＝8.

三、填空题

9.＋1与－1的等比中项是________．

答案　±1

解析　设＋1与－1的等比中项是X，

则X2＝，

即X2＝1，

解得X＝±1.

10．已知等差数列中，a5，a13是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________.

答案　15

解析　根据题意，由根与系数的关系得，a5＋a13＝6，根据等差数列下标和的性质得，a5＋a13＝a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝6，

所以a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝5a9＝15.

11．设等差数列的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.

答案　114

解析　∵是等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，

∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3，

又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.

12．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.

那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是________．

答案　n2＋n

解析　由题意可得，第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n＋1)项为n＋n·n＝n2＋n.

所以题表中的第n行第(n＋1)列的数是n2＋n.

四、解答题

13．(1)在等差数列{an}中，若a3＝2 020，a5＝2 022，求a7；

(2)已知{an}为递增的等比数列，a3＝2，a2＋a4＝5，求{an}的通项公式．

解　(1)∵a3＝2 020，a5＝2 022，

∴公差d＝＝＝1，

∴a7＝a5＋2d＝2 022＋2×1＝2 024.

(2)∵a3＝2，

∴a2＋a4＝＋a3q＝2＝5，

即2q2－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝，

又{an}为递增的等比数列，a3＝2>0，

∴q＝2，

∴an＝a3·qn－3＝2×2n－3＝2n－2.

14．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．

(1)求第六排的座位数；

(2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？

(提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多)

解　(1)依题意，得每排的座位数构成等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝2，

所以第六排的座位数a6＝a1＋d＝19.

(2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，

首项b1＝5，公差d′＝1，所以数列前10项和S10＝10b1＋×d′＝95.

故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．

15．已知正项等比数列中，a2a4＝64，a1＋a2＋a3＝56.

(1)求数列的通项公式；

(2)设bn＝，求数列的前n项和Tn.

解　(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)．

aq4＝64，a1＋a1q＋a1q2＝56，

解得q＝(负值舍去)，a1＝32，

∴an＝32×n－1＝26－n.

(2)由(1)知an＝26－n，

∴bn＝＝＝

当n≤6时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋4＋3＋…＋(6－n)＝＝；

当n≥7时，

Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋4＋3＋2＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋(n－6)

＝15＋＝.

∴Tn＝