【培优分级练】人教版数学八年级上册 13.3-13.4《等腰三角形+最短路径问题》培优三阶练（含解析）

13.3 等腰三角形 13.4 最短路径问题
课内知识点回顾

知识点01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
知识点02 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
知识点03 等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
知识点04 等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点05 含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
知识点06 最短路径问题
1、求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2、求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
课后培优练

培优第一阶——基础过关练
1．如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：

故选：D．
2．下列说法中，正确的个数是（    ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意．
③有两个角为60°的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项符合题意．
故选：D．
3．若等腰三角形有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（    ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【答案】D
【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形，
∴当50°是底角时，顶角；
当50°是顶角时，符合题意；
综上所述，等腰三角形的顶角度数为50°或80°．
故选D．
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BD等于（  ）

A．18 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，
，
∵CD⊥AB，
，
，
，
．
故选：C．
5．已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【详解】等边三角形ABC的周长=3AB=6．
故选C．
6．等腰三角形周长为35，其中两边长之比为3∶1，则底边长为______．
【答案】5
【详解】解：设等腰三角形的一边长为3x，则另一边长为x，
则等腰三角形的三边有两种情况：3x，3x，x或x，x，3x，
则有：①3x+3x+x=35，得x=5，
所以三边为：15、15、5，
5+15>15，符合三角形三边关系，则底边长为5；
②x+x+3x=35，得x=7，
所以三边为7、7、21，
7+7