初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系集体备课ppt课件

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系集体备课ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了知识回顾，将二次项系数化为1，x1·x2，猜一猜，新课讲解，证一证，知识归纳，例题讲解，练一练，常见的求值式子如下等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
想一想 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？
算一算 解下列方程并完成填空：
x1 + x2 = ？
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
重要发现方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
注：b2 - 4ac≥0↗
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
（2）3x2 + 7x - 9 = 0；
解：a = 3，b = 7，c = -9.
Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0，
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
（3） 5x – 1 = 4x2.
解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = .
在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判断是否 Δ≥0，如是则代入 a、b、c 的值即可.
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1·x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7.答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15.答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；(3) ； (4) .
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0.
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____.
2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则(1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _______， (2) x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ______,(3) (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______.
3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 + 7x + 6 = 0;（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：(1)这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
（2）因为k=-7,所以 则：