高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体单元测试课时练习

9.2 用样本估计总体

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2022·河南驻马店·高一期末）郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（       ）

A．125 B．135 C．165 D．170

【答案】D

【解析】

【分析】

利用公式可求平均数和90%分位数，再求出众数后可得所求的和.

【详解】

这组数据的平均数为，

而，故90%分位数，

众数为，故三者之和为，

故选：D.

2．（2022·天津市第四中学高一期中）某校高一年级个班参加庆祝建党周年的合唱比赛，得分如下：、、、、、、、、、、、、、、，则这组数据的分位数、分位数分别为（       ）

A．、 B．、 C．、 D．、

【答案】A

【解析】

【分析】

将数据由小到大排列，利用百分位数的定义可求得结果.

【详解】

将数据从小到大排列可得、、、、、、、、、、、、、、，

由，则分位数为，

由，则分位数为，

故选：A．

3．（2022·天津市第四中学高一期中）体育王老师记录了名同学各次投篮的命中次数，记录如下表

则这名同学投篮数据中（       ）A．众数为 B．中位数为

C．中位数为 D．平均数为

【答案】D

【解析】

【分析】

根据表格数据计算得到众数、中位数和平均数即可判断出结果.

【详解】

对于A，名同学中，命中次的人数最多，则众数为，A错误；

对于BC，数据由低到高排序，第和第位同学的命中次数均为次，则中位数为，BC错误；

对于D，平均数为，D正确.

故选：D.

4．（2022·广东·广州市海珠中学高一期中）在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在之间的学生人数是（       ）

A．150 B．200 C．250 D．300

【答案】B

【解析】

【分析】

由频率分布直方图求出可得得分在之间的频率，从而得样本容量．

【详解】

由频率分布直方图，，，

所以得分在之间的频率为，人数为．

故选：B．

5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）为了研究人们生活健康情况，某市随机选取年龄在15~75岁之间的1000人进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中，利用分层抽样从年龄在，，，，，之间共选取20名市民书写生活健康的报告，其中选取年龄在市民的人数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图及，求得a，b，得到各组的人数，再利用分层抽样求解.

【详解】

由频率分布直方图得

解得，，

所以年龄在，，，，，内的人数分别为150，300，350，100，50，50，

利用分层抽样选取的人数分别为3，6，7，2，1，1，

故选：D．

6．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．80cm以上优质苗木所占比例增加10%

B．改进后，80cm以上优质苗木产量实现了增加80%的目标

C．70cm-80cm的苗木产量没有变化

D．70cm以下次品苗木产量减少了

【答案】B

【解析】

【分析】

设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，则单位面积80cm以上的增加量为，70cm-80cm的苗木产量增加，70cm以下次品苗木产量减少了，即可判断结果．

【详解】

设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，

则80cm以上优质苗木所占比例增加了，即故A错；

80cm以上优质苗木产量实现了增加了，即的目标，故B正确；

单位面积上70cm-80cm的苗木产量增加了，故C错；

70cm以下次品苗木产量减少了，故D错

故选：B．

7．（2022·北京通州·高一期中）甲､乙两名射击运动员分别连续次射击的环数如下：

根据以上数据，下面说法正确的是（       ）A．甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差相等

B．甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数大

C．甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大

D．甲射击的环数比乙射击的环数稳定

【答案】D

【解析】

【分析】

利用极差的定义可判断A选项；利用平均数的定义可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用方差的定义可判断D选项.

【详解】

对于A选项，甲射击的环数的极差为，乙射击的环数的极差为，

所以，甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差小，A错；

对于B选项，甲射击的环数的平均数为，

乙射击的环数的平均数为，

所以，甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数相等，B错；

对于C选项，甲射击的环数的中位数为，乙射击的环数的中位数为，

所以，甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数小，C错；

对于D选项，甲射击的环数的方差为，

乙射击的环数的方差为，

所以，甲射击的环数的方差比乙射击的环数的方差小，

故甲射击的环数比乙射击的环数稳定，D对.

故选：D.

8．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用数据的均值、方差的线性运算直接求得.

【详解】

因为数据，，，…，的标准差为2，所以方差为4．

由题意知，得到的新数据为，，，…，，

这组新数据的方差为，标准差为6．

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论正确的有（       ）

A．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量

B．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增

C．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿

D．第六次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数

【答案】AB

【解析】

【分析】

从图1和图2数据出发，计算出相应的量，判断四个选项.

【详解】

从图1可以看出，第五次总人数增长量为126583-113368=13215（万人），

第四次总人数增长量为113368-100818=12550（万人），故A正确；

从图2可以看出这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增，B正确；

从图1和图2可以得到，第三次全国人口普查城镇人口数约为（万人），C错误；

从图1和图2可以得到，第六次全国人口普查城镇人口数约为（万人），D错误

故选：AB

10．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（       ）

A．众数为8 B．极差为6 C．中位数为8 D．方差为

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用平均数公式可求，然后逐项分析即得.

【详解】

由题可得，

∴，

∴此组数据众数为7，极差为，中位数为7，

方差为.

故选：BD.

11．（2022·全国·高一单元测试）立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（       ）

A．图中的x值为0.020 B．这组数据的极差为50

C．得分在80分及以上的人数为400 D．这组数据的平均数的估计值为77

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

由，可解得，故选项A正确；

频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；

得分在80分及以上的人数的频率为，

故人数为，故选项C正确；

这组数据的平均数的估计值为：

故选项D正确.

故选：ACD.

12．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（       ）

A．设，则样本数据，，…，的平均数为

B．设，，则样本数据，，…，的标准差为

C．样本数据，，…，的平均数为

D．

【答案】AD

【解析】

【分析】

A选项，利用平均数计算公式进行元素；B选项，利用求方差公式求解公差，进而求出标准差；C选项，举出反例；D选项，利用求解方差公式推导出答案.

【详解】

A选项，由题意得：，则，A正确；

B选项，数据，，…，的平均数为，

所以

，则标准差为，B错误；

C选项，可以举出反例，比如1,2,3的平均数为2，而1,4,9的平均数为，显然样本数据，，…，的平均数不一定是，故C错误；

D选项，

，D正确.

故选：AD

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2022·全国·高一课时练习）一个样本按从小到大的顺序排列为10，12，13，x，17，19，21，24，其中位数为16，则________.

【答案】15

【解析】

【分析】

根据中位数的定义计算求解.

【详解】

由中位数的定义知，∴.

故答案为：15

14．（2022·全国·高一课时练习）某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则60分为成绩的第________百分位数.

【答案】30

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图求出成绩在中的频率，即可得解；

【详解】

解：由图可知成绩落在中的频率是，

分为成绩的第30百分位数．

故答案为：30．

15．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：

甲   8.1   7.9   8.0   7.9   8.1

乙   7.9   8.0   8.1   8.5   7.5

记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）．

【答案】

【解析】

【分析】

计算出，由此确定正确答案.

【详解】

甲的得分平均值为，

.

乙的得分平均值为，

，

所以.

故答案为：

16．（2022·湖南·高一课时练习）现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________.

【答案】2

【解析】

【分析】

先根据平均数和平方和得出关系式，再由标准差的公式计算即可.

【详解】

由题意知＝4，，

.

故答案为：2.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期中）已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到，，，，，，中位数为，求这组数据的平均数与方差.

【答案】，

【解析】

【分析】

首先由中位数求出，再根据平均数、方差公式计算可得；

【详解】

解：由于数据从小到大排列为，，，，，，其中位数为，所以，解得.

设这组数据的平均数为，方差为，由题意得，

.

18．（2022·全国·高一课时练习）有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5，15.5)，6； [15.5，18.5)，16； [18.5，21.5)，18；[21.5，24.5)，22； [24.5，27.5)，20； [27.5，30.5)，10；[30.5，33.5]，8.

(1)列出样本的频率分布表(含累计频率)；

(2)画出频率分布直方图；

(3)根据频率分布表的累计频率估计样本的90%分位数.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)29.9

【解析】

【分析】

根据所给数据列出频率分布表，做出频率分布直方图，再由公式27.5＋3×估计样本的90%分位数.

(1)

样本的频率分布表如下：

(2)

频率分布直方图如图所示.

(3)

由频率分布表的累计频率知，小于30.5的数据所占的比例为92%，所以90%分位数一定在区间[27.5，30.5)内，由27.5＋3×＝29.9，可以估计样本的90%分位数为29.9.

19．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）某超市有甲、乙两家分店，为调查疫情期间两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：

(1)比较甲乙两店日销售额的平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：

(2)若规定分店一年（按360天计算）中日销售额不低于55万的天数不少于120天为运转良好，请结合上图，分析甲店上个年度运转是否良好？

(3)如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．（不需要计算，只需要说清楚理由）

【答案】(1)

(2)甲店运转良好

(3)我选乙店，理由见解析

【解析】

【详解】

（1）解：估计算甲店的日销售额平均数为

估计算乙店的日销售额平均数为

．

．

（2）解：日销售额超过55万的天数占比不少于，

甲日销售额不低于55万的概率约为，

甲店运转良好．

（3）解：答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知．甲店的销售额方差明显低于乙店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；

答案二：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店．

20．（2022·北京通州·高一期中）某校为了解学生对2022年北京冬奥会观看的情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，如下：

(1)随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，求此次测试分数在的学生人数；

(2)估计随机抽取的学生测试分数的%分位数；

(3)观察频率分布直方图，判断随机抽取的学生测试分数的平均数和中位数的大小关系.（直接写出结论）

【答案】(1)（人）

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）先求出测试分数不低于分的频率，从而可求抽取人数，故可求给定范围上的学生人数.

（2）根据直观图可判断出%分位数一定位于内，根据%分位数的意义可求该数.

（3）根据公式可求两数，从而得到它们的大小关系.

(1)

由图知，学生测试分数不低于分的频率.

所以抽取的学生人数为（人）.

所以测试分数在的学生人数为（人）.

(2)

由图可知，测试分数在分以内的学生所占比例为:

.

所以分位数一定位于内.

所以.

所以估计随机抽取的学生测试分数的%分位数约为.

(3)

由频率分布直方图可得

，

而前4组的频率之和为，

而前5组的频率之和为，

故中位数在第5组，故中位数，则，

故，故.

21．（2022·全国·高一专题练习）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；

(3)根据该大学规定，把百分之15的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.

【答案】(1)160

(2)20

(3)55分

【解析】

【分析】

（1）根据直方图先求分数不小于70的频率，然后得到分数小于70的频率，然后可得；

（2）先计算分数不小于50的频率，结合已知再求分数在区间[40，50）内的人数，然后可得频率，再由频率估算可得；

（3）根据百分位数的概念可得.

(1)

根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.

所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.

(2)

根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9，

分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5.

所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×＝20.

(3)

设分数的第15百分位数为x，由（2）可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50，60），则0.1＋（x－50）×0.01＝0.15，

解得x＝55，所以本次考试的及格分数线为55分.

22．（2022·湖南师大附中高一期中）从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

【答案】(1)频率分布直方图见解析；

(2)平均数为，方差为，中位数为99.7；

(3)不能认为该企业伸长的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定﹒

【解析】

【分析】

(1)根据频数求出，画出每一组的小矩形即可；

(2)根据平均数、方差、中位数的计算方法计算即可；

(3)求出[95，105)、[105，115)、[115，125]这三组的总频率，与80%比较即可．

(1)

补全后的频率分布直方图如图所示，

(2)

质量指标值的样本平均数为：

，

质量指标值的样本方差为：

，

∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104．

第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38，

∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5，

∴中位数落在第三组内，设中位数为x，

则，解得，

因此，中位数为99.7；

(3)

质量指标值不低于95的产品所占比例约为，

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．