人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直单元测试复习练习题

8.5 空间直线、平面的垂直

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的个数是（       ）

①若，，则

②若，，则     

③若，，则

④若，，则

⑤若，，则

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间线面位置关系的判定、性质或一般结论进行判断．

【详解】

解：对于①若，，则与可能平行，相交或异面，故错误；

对于②若，，根据线面垂直的性质定理可得，故正确；

对于③若，，则或，故错误；

对于④若，，则或或或与相交，故错误．

对于⑤若，，根据线面垂直的性质定理可得，故正确；

故选：B

2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（       ）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，，则

【答案】A

【解析】

【分析】

利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.

【详解】

对于A，在平面内取一点P，在平面内过P分别作平面与，与的交线的垂线a,b，

则由面面垂直的性质定理可得，又，

∴，由线面垂直的判定定理可得，故A正确；

对于B，若，，则与位置关系不确定，可能与平行、相交或在内，故B错误；

对于C，若，，则与相交或平行，故C错误；

对于D，如图平面，且，，，

显然与不垂直，故D错误.

故选：A.

3．（2021·陕西·渭南市华州区咸林中学高一阶段练习）已知平面与平面交于直线，且直线，直线，且直线，，不重合，则下列命题错误的是（       ）

A．若，，且与不垂直，则

B．若，，则

C．若，，且与不平行，则

D．若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据面面垂直、线线垂直的有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

依题意，直线，直线，且直线，，不重合，

对于A选项，，，且与不垂直，

设，则相交，根据面面垂直的性质定理可知，所以，

由于相交，所以，所以.所以A选项正确.

对于B选项，，，根据面面垂直的性质定理可知，所以，所以B选项正确.

对于C选项，，，且与不平行，则相交，所以，由于，所以，所以C选项正确.

对于D选项，，，与不一定垂直，所以D选项错误.

故选：D

4．（2020·江苏·东台创新高级中学高一阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

依据线面垂直判定定理、面面垂直判定定理和线面垂直性质定理、面面平行性质定理去判断四个选项的说法.

【详解】

选项A: 若，则或或与相交.说法错误；

选项B: 若，则.说法正确；

选项C: 若，则.说法错误；

选项D: 若，则或是异面直线.说法错误.

故选：B

5．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，下列说法正确的个数有（       ）

①平面；

②平面；

③平面平面.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【解析】

【分析】

通过线线垂直证明线面垂直及面面垂直，通过线线平行证明线面平行.

【详解】

三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，

又为的中点，所以,且,平面ABA1,

所以平面，

又平面，所以平面平面，故①③都正确；

连接交于点，再连接，可知为的中位线，

所以，又平面，在平面外，

所以平面，故②正确.

故选：D

6．（2021·全国·高一课时练习）下列关于直线与平面间的位置关系的命题正确的个数是（       ）

①若空间中四条直线、、、，满足，、，则、的位置关系不确定；

②设、、均为直线，其中、在平面内，则“”是“且”的充分不必要条件；

③直线、互相平行的一个充分不必要的条件是、都垂直于同一个平面

④已知、为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线线，线面的位置关系，结合平行，垂直关系的转化，判断选项.

【详解】

对于A选项，若空间中四条直线、、、，满足，、，则、平行、相交或异面，故A正确；

对于B选项，根据线面垂直的性质可知，“”是“且”的充分条件，

但反过来，如果，就不能推出，

所以“”是“且”的充分不必要条件，故B正确；

对于C选项，两直线垂直于同一个平面，两直线平行，

但反过来，两直线平行，不一定垂直于平面，

所以直线、互相平行的一个充分不必要的条件是、都垂直于同一个平面，故C正确；

对于D选项，假设与平行，因为平面，平面，则，

这与“、为异面直线”矛盾，假设不成立，故与相交，设与的交线为，

因为平面，平面，，，则，，

因为直线满足，，且、为异面直线，

设直线，且，设直线、确定平面，

因为，则，因为且，，故，同理，

因为，，故与不重合，故，故D正确.

故选：D.

7．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（       ）

A．平面 B．，

C．，平面平面 D．，

【答案】D

【解析】

【分析】

A选项利用线面垂直（平面）可推出线线垂直（），B选项利用两组线线垂直（，）推出线面垂直（平面），再推出线垂直（），C选项利用面面垂直的性质定理可推出，D选项不能证明出.

【详解】

平面，平面， ，故A选项可以证明，因此不选. ，，平面，平面，平面，.故B选项可以证明，因此不选.平面平面，平面平面，，由面面垂直的性质定理知平面.平面，，故C选项可以证明，因此不选.由D选项，并不能推出.

故选：D.

8．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC

【答案】C

【解析】

【分析】

利用面面垂直的判断，再结合面面关系的判断方法逐项分析作答.

【详解】

因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，

则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；

在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，

因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，

若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，

于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；

过A作边上的高，连，由得，是边上的高，

则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；

因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，

平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据空间直线、平面间的位置关系、线面垂直的判定定理和性质定理判断．

【详解】

由线面垂直的判定定理可得A正确，由线面垂直的性质定理可得B正确，

，可能有，C错误，时可能有，，与相交（可能垂直），D错误，

故选：AB．

10．（2021·河北邢台·高一阶段练习）设，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（       ）

A．若，，且，则 B．若，，，且，则

C．若，，且，则 D．若，，且，则

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用空间中线面、面面之间得位置关系及性质逐一判断即可.

【详解】

解：如果，，且，那么，不一定平行，所以A错误；

如果，，且，那么是正确的，所以B正确；

如果，，，，那么由面面垂直的判定得是正确的，所以C正确；

若，，且，，不一定垂直，所以D错误．

故选：BC.

11．（2021·全国·高一课时练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（       ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，由已知底面，且底面为矩形，

所以，且,平面，

所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；

对于B中，由已知底面，且底面为矩形，

所以，且,平面，

所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；

对于C中，假设平面平面，过点作，可得平面，

因为平面，所以，又由，且，

所以平面，可得，这与矛盾，

所以平面与平面不垂直，所以C不正确；

对于D中，由已知底面，且底面为矩形，

所以，且,平面，

所以平面，又由平面，所以平面平面，所以D正确.

故选：ABD.

12．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方体，则四个推断正确的是（       ）

A． B．

C．平面平面 D．平面平面

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对于A，与成角；对于B，由，，得；对于C，由，，得平面平面；对于D，由，，得平面平面．

【详解】

在正方体中，

对于A，由正方体的性质可知，

所以即为异面直线与所成的角，

在中显然，所以与成角，故A错误；

对于B，，，，故B正确；

对于C，，，、平面，、平面，

∴平面，平面，又，

平面平面，故C正确；

对于D，，，，平面，

所以平面，又平面

平面平面，故D正确．

故选：BCD．

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体的各条棱所在直线中，

（1）与直线AB垂直的直线有__________条；

（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；

（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；

（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．

【答案】                    ##

【解析】

【分析】

根据线线垂直的知识确定正确结论.

【详解】

（1）与直线垂直的直线有：，共条.

（2）与直线异面且垂直的直线由，共条.

（3）与直线和都垂直的直线有，共条.

（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线.

故答案为：；；；

14．（2022·全国·高一单元测试）已知所在的平面，且，连接AE，AF，则图中直角三角形的个数是___________.

【答案】4

【解析】

【分析】

直接由线面垂直的性质及线面垂直的判定即可得到答案.

【详解】

由所在的平面，得，，

所以，均为直角三角形，

由，可知为直角三角形，

因为所在的平面，所以，

又，且，

所以面，即，则为直角三角形.

故图中直角三角形的个数是4.

故答案为：4.

15．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）

【答案】(答案不唯一)

【解析】

【分析】

直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.

【详解】

根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.

故答案为：.

16．（2021·陕西·西安市第八十九中学高一阶段练习）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.有下列四个命题：

①若，，则；

②若，，；

③若，，，则；

④若，，，则.

其中正确命题的序号是___________.

【答案】②③##③②

【解析】

【分析】

对于①，④，举出符合条件的特例说明即可判断；对于②，利用面面、线面平行的定义即可判断；对于③，利用线面垂直的判定即可判断作答.

【详解】

对于①，如图直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面ABB1A1所在平面为，底面ABC所在平面为，侧面ABB1A1的对角线所在直线为m，

显然，，，而m不垂直于，①不正确；

对于②，因，则与无公共点，而，于是得m与无公共点，因此，，②正确；

对于③，因，，则，又，于是得，③正确；

对于④，在上述直三棱柱ABC-A1B1C1中，若底面是直角三角形，，必有平面ABB1A1，边BC所在直线为m，

侧面ABB1A1，侧面ACC1A1所在平面分别为，底面ABC所在平面为，显然有，，，而m为的斜线，④不正确，

所以正确命题的序号是②③.

故答案为：②③

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知正方体ABCD-的棱长为2.

(1)求三棱锥的体积；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将问题转化为求即可；

（2）根据线面垂直证明线线垂直.

(1)

在正方体ABCD-中，易知⊥平面ABD，

∴.

(2)

证明：在正方体中，易知，

∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.

又∵，、平面，∴BD⊥平面.

又平面，∴.

18．（2022·湖南·高一课时练习）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，点D，E在线段AC上，且，，点F在线段AB上，且．求证：平面PFE．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

由等腰三角形的性质证明PE⊥AC.然后证明出PE⊥AB，AB⊥EF，利用线面垂直的判定定理证明直线AB⊥平面PEF.

【详解】

由知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且平面PAC，PE⊥AC，

所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.

因为，EF//BC，故AB⊥EF，

从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，

所以AB⊥平面PEF.

19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：

(1)平面PAD；

(2)．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用面面得到平面；

(2)证明面，从而得．

(1)

四边形是的菱形，

∴为等边三角形，又为的中点，∴，

又∵平面平面，平面，平面平面，

∴平面；

(2)

，为的中点，∴，

又，，平面，

∴平面，又∵面，

∴．

20．（2022·陕西·西安市第七十五中学高一阶段练习）如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：

(1)PC∥平面EBD；

(2)BC⊥平面PCD．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）连AC，与BD交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；

（2）证明BC⊥PD，BC⊥CD，即可证明BC⊥平面PCD．

(1)

连AC，与BD交于O，连接EO

∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，

∵E是PA的中点，

∴EO∥PC

又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD

∴PC∥平面EBD；

(2)

∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD

∴BC⊥PD

∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD

又∵PD∩CD＝D

∴BC⊥平面PCD．

21．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．

(1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论；

(2)求证：平面平面ABCD．

【答案】(1)垂直，理由见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据给定条件证明即可推理作答.

(2)利用(1)的信息可得，结合已知证得平面即可推理作答.

(1)

CD与平面PAD垂直，

在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，

则有，即，而，，平面，

所以平面.

(2)

由(1)知，平面，而平面，则，又，

因是直角梯形的两条腰，即直线必相交，因此，平面，而平面，

所以平面平面.

22．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高一阶段练习）如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．

(1)证明：平面；

(2)求到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理作答.

（2）将到平面的距离转化为到平面的距离，再利用等体积法计算作答.

(1)

在四棱锥中，底面，平面，则，

在中，，而，即有，

则有，因，平面，

所以平面.

(2)

由（1）可得，，因，则，

，，令到平面的距离为h，

由，即得：，解得，

因，平面，平面，于是得平面，

所以到平面的距离等于到平面的距离.