高中数学3.3 对数函数y=loga x的图像和性质第1课时课后作业题

对数函数y＝logax的图象和性质

第1课时　对数函数的图象和性质

观察图形，回答下列问题：

[问题]　(1)观察图①所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？

(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图②所示，那么a，b，c的大小关系如何？

知识点　对数函数的图象和性质

对数函数图象的再理解

(1)对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内；

(2)①若0<a<1且0<x<1，或a>1且x>1，则有y>0；

②若0<a<1且x>1，或a>1且0<x<1，则有y<0.

简记为：同区间为正，异区间为负．　　　　

1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)

解析：选C　由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度得到(或令x＝0 得y＝0，而且函数为增函数)．

2．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c　　　　　　　 B．b>a>c

C．c>b>a  D．c>a>b

解析：选A　a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln 2<ln e＝1，∴a，b，c的大小关系为a>b>c.

3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0＜a＜b＜1  B．0＜b＜a＜1

C．a＞b＞1  D．b＞a＞1

解析：选B　作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.

4．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是________．

答案：(1，＋∞)

[例1]　(链接教科书第111页例6)求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝log2(16－4x)；

(4)y＝log(x－1)(3－x)．

[解]　(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2.

故函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．

(2)要使函数式有意义，需

即解得x≥4.

故函数y＝的定义域是{x|x≥4}．

(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.

故函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}．

(4)要使函数式有意义，需解得1<x<3，且x≠2.

故函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}．

求对数型函数定义域的原则

(1)分母不能为0；

(2)根指数为偶数时，被开方数非负；

(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　　　　

[跟踪训练]

求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝＋ln(x＋1)．

解：(1)要使函数有意义，需

即即－3<x<－2或x≥2，

故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需即

∴－1<x<2.

故所求函数的定义域为(－1，2).

[例2]　(1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

(1)[解析]　y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.

[答案]　C

(2)[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝

所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．

有关对数型函数图象问题的应用技巧

(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)；

(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；

(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(　　)

A．(1，1)　　　　　　　 B．(1，2)

C．(2，1)  D．(2，2)

解析：选C　令x－1＝1，即x＝2，得f(2)＝loga1＋1＝1，因此f(x)的图象恒过点(2，1)．故选C.

2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．

解析：当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0<a<1时，对数函数y＝logax的图象是下降的．对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向．故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是，，，.

答案：，，，

3．作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．

解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示．

第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．

第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．

[例3]　(链接教科书第111页例7)比较下列各题中两个值的大小：

(1)log31.9，log32；

(2)log23，log0.32；

(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)．

[解]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9<2，所以log31.9<log32.

(2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.

(3)π>3.14，当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，有logaπ>loga3.14；

当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，

有logaπ<loga3.14.

综上可得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.

比较对数值大小时常用的4种方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；

(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．　　　　

[跟踪训练]

比较下列各组对数值的大小：

(1)log与log；

(2)3log45，2log23；

(3)log0.3与log3.

解：(1)因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，且<，所以log>log.

(2)∵3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，又125>81，

∴3log45>2log23.

(3)由对数的性质知log0.3>0>log3，所以log0.3>log3.

[例4]　解不等式：

(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；

(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)．

[解]　(1)原不等式等价于

解得＜x≤3.

所以不等式的解集为.

(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．

当a＞1时，不等式等价于 无解．

当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.

综上可知，当a＞1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．

常见对数不等式的2种解法

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；

(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．　　　　

[跟踪训练]

1．求满足不等式log3x<1的x的取值集合．

解：∵log3x<1＝log33，

∴x满足的条件为

即0<x<3.

∴x的取值集合为{x|0<x<3}．

2．已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．

解：∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1)，

得

解得x>1.

∴x的取值范围是(1，＋∞)．

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．[1，2)  B．(－∞，1)

C．(1，2)  D．(－∞，2)

解析：选A　要使f(x)有意义，则

解得1≤x<2，∴f(x)的定义域为[1，2)．故选A.

2．(多选)已知a>0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象不可能是(　　)

解析：选ABD　对于A，由指数函数和对数函数知a>1，而由一次函数知a<1，不符合；对于B，∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，∴排除B；对于C，都符合；对于D，由指数函数和对数函数知0<a<1，而由一次函数知a>1，不符合．

3．函数y＝loga(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是(　　)

A．(1，0)  B．(2，0)

C．(3，0)  D．(4，0)

解析：选C　令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．

4．三个数a＝3，b＝，c＝log3的大小顺序为(　　)

A．b<c<a  B．b<a<c

C．c<a<b  D．c<b<a

解析：选D　a＝3>1，0<b＝<1，c＝log3<0，所以a>b>c.

5．已知loga>1，求a的取值范围．

解：由loga>1得loga>logaa.

①当a>1时，有a<，此时无解；

②当0<a<1时，有<a，从而<a<1.

所以a的取值范围是.