北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步训练题

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题：

现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？

A．5年　　　　　　　　 B．7年

C．8年  D．9年

E．永远买不起

[问题]　(1)房子每年的价格满足什么函数关系？

(2)这个人每年的收入之和满足什么函数关系？

(3)你能给出这道题的答案吗？

知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

1．当b>1，c>0时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y＝xc比y＝logbx增长快．

2．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y＝ax比y＝xc增长快．

3．随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长．

4．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”．

三种函数模型的再理解

(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．　　　　

存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？

提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax.

1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)

A．y＝ex  B．y＝ln x

C．y＝3x  D．y＝e－x

答案：A

2．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　)

A．一次函数模型  B．二次函数模型

C．指数函数模型  D．对数函数模型

答案：D

3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数型函数变化的变量是________．

解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化．

答案：y2

[例1]　(链接教科书第117页练习1题)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)

A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢

B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快

C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢

D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快

[解析]　画出三个函数的图象如图，由图象可知选C.

[答案]　C

一般地，在(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．

随着x的增大，函数y＝ax(0<a<1)的衰减速度会越来越慢，并且一开始远远大于函数y＝xn(n<0)的衰减速度，但是它们的函数值始终大于0；而对于函数y＝logax(0<a<1)，衰减速度也是越来越慢，并且当x>1时，函数值小于0，会越来越小．

因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<ax<xn(0<a<1，n<0)．

[提醒]　由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会存在一个x0，使得当x>x0时，若a>1，n>0，则logax<xn<ax；若0<a<1，n<0，则logax<ax<xn.而当x<x0时，ax，logax与xn(n≠0)的大小关系不确定．　　　　

[跟踪训练]

　三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：

则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)

A．y1，y2，y3  B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1  D．y3，y1，y2

解析：选C　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知，y1是幂函数型函数，y2是指数函数型函数，y3是对数函数型函数，故选C.

[例2]　如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(　　)

A．指数函数：y＝2t  B．对数函数：y＝log2t

C．幂函数：y＝t3  D．二次函数：y＝2t2

[解析]　由图可知函数在第一象限内单调递增，并且增长速度较快，且图象过点(2，4)，(4，16)，因此利用指数函数模型拟合较好．

[答案]　A

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；

(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；

(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；

(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　　　

[跟踪训练]

四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)

A．f1(x)＝x2　　　　　 B．f2(x)＝2x

C．f3(x)＝log2x  D．f4(x)＝2x

解析：选D　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.

[例3]　(链接教科书第117页习题2题)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.

[解]　在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．

由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．

不妨将(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.

故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．

当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．

函数模型构建的一般步骤

(1)收集数据；

(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；

(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；

(4)选择其中的几组数据求出函数模型；

(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步；

(6)用所得函数模型解析实际问题．　　　　

[跟踪训练]

某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x, y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．

1．下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 022ln x  B．y＝x2 022

C．y＝  D．y＝2 022·2x

解析：选D　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝2 022·2x的函数值的增长速度最快．故选D.

2．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是(　　)

解析：选B　水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢．

3．某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)

A．甲食堂的营业额较高

B．乙食堂的营业额较高

C．甲、乙两食堂的营业额相同

D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

解析：选A　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝.因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．