高考复习《解三角形的应用》课时作业4.7

课时作业

[基础过关专练]

1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)

A. km   B. km

C. km   D．2 km

A　

如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，

∴AC＝2×＝(km)．

2．(2020·襄阳模拟)如图，

两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D．南偏西80°

D　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，

又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，

因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．10 海里   B．10 海里

C．20 海里   D．20 海里

A

　如图所示，易知，

在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，

根据正弦定理得＝，

解得BC＝10.

4．(2020·广州模拟)如图，从气球A上测

得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(＋1)m   B．180(－1)m

C．120(－1)m   D．30(＋1)m

C　如图，

∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，

在Rt△ACD中，

CD＝＝

＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)m，

∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.

5．如图，一

条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)

A．8 km/h   B．6 km/h

C．2 km/h   D．10 km/h

B　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.

6．(2020·郑州质检)如图所示，

测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A．5   B．15

C．5   D．15

D　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得＝，所以BC＝15.

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.

7．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的(　　)

A．北偏东75°   B．南偏东15°

C．北偏东75°或南偏东15°   D．东偏北75°或东偏南15°

A　∵在△ABS中，已

知∠BAS＝30°，且边BS＝8海里，

利用正弦定理可得：＝，

∴＝

∴sin∠ASB＝，∴∠BSA＝45°

则灯塔S在B处的北偏东75°.故选A.

8．(2020·哈尔滨模拟)如图，

某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.

解析　设坡底需加长x m，

由正弦定理得＝，解得x＝100.

答案　100

9．(2020·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

解析　如图所示，

依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．

答案　10

10.

(多填题)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则sin C＝______，AB＝______．

解析　在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝＝，则sin C＝.

在△ABC中，由正弦定理可得＝，

则AB＝＝＝.

答案　　

11．(2020·泉州质检)如图，

某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

解析　如图，连接OC，

在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.

答案　50

12．如图，点M在A城的南偏西19°的方向上，现有一

辆汽车在点B处沿公路向A城直线行驶，公路的走向是A城的南偏东41°.开始时，汽车到M的距离为9 km，汽车前进6 km到达点C时，到M的距离缩短了4 km.

(1)求△BCM的面积S；

(2)汽车还要行驶多远才能到达A城．

解　(1)

在△BCM中，由于BM＝9，MC＝5，由余弦定理得cos∠BCM

＝

＝＝－，

则sin∠BCM

＝＝，

从而S＝MC·BCsin∠MCB＝×6×5×

＝10 km2.

(2)由条件得∠MAC＝60°，由(1)得cos∠BCM＝－，sin∠BCM＝，则

cos∠MCA＝cos(180°－∠BCM)＝－cos∠BCM＝，

sin∠MCA＝sin(180°－∠BCM)＝sin∠BCM＝，

sin∠AMC＝sin(180°－60°－∠MCA)＝sin(120°－∠BCM)＝cos∠MCA＋sin∠MCA＝，

在△AMC中，有正弦定理得＝，则

AC＝＝＝ km.

故汽车还要行驶 km才能到达A城．

[技能过关提升]

13．(2020·德阳模拟)如图，在水平地面上有

两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________ m.

解析　设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，

则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.

∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，

∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，

∴tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.

答案　　45

14.

某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________ km2.

解析　如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝

＝，

故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，

由＝，

得AD＝＝，

故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2)．

答案　

15．(新背景题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．

解析　设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，所以cos C＝＝＝＝，所以sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米)．

答案　21

16．(2020·湖南五市十校3月联考)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，求BC边上的中线AM的最大值．

解　(1)∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝.

又0＜A＜π，∴A＝.

(2)在△ABC中，A＝，a＝，

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋c2＝bc＋3.

则b2＋c2＝bc＋3≥2bc，得bc≤3(当且仅当b＝c时取等号)．

在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝.

在△ABM中，由余弦定理，得

AM2＝AB2＋BM2－2·AB·BM·cos B

＝c2＋－2·c·a·

＝＝≤，∴AM≤.

∴AM的最大值是.