2025高考数学一轮复习-4.7-解三角形的应用【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.7-解三角形的应用【课件】，共57页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，考点突破题型剖析，角度2测量高度问题，角度3测量角度问题，解如图所示，分层训练巩固提升，所以由余弦定理得等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图1).
2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
解析　(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
解析　由条件及图可知，A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东80° D.南偏西80°
解析　在△ABC中，由正弦定理得
3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，
在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cs 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.
4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为(　　)
解析　由题意可知∠ACB＝60°，
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
A.39米 B.43米 C.49米 D.53米
例1 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(　　)
解析　在△ACB中，AB＝60，BC＝60，∠ABC＝60°，所以AC＝60，在△CDA中，
A.346 B.373 C.446 D.473
在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，
又在B点处测得A点的仰角为45°，
所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE
解　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，
例3 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
解析　由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
训练1 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
在△ABD中，由余弦定理可知，
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
在△BCD中，由余弦定理可得，
(2)若AB＝2BC，求cs∠BDC.解　设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.由余弦定理可知，
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，即cs∠BDC＝cs∠ABD.
整理得x2＋2x－2＝0，
解　在△APC中，设AC＝x，
所以AC＝PC＝AP，此时△APC为等边三角形，
解得BC＝5，则BP＝3，作AD⊥BC交BC于D，如图所示.
因为△ABC为锐角三角形，
解　由题意得f(0)＝k＝0.
所以函数f(x)是奇函数，∴k＝0.
整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2，经检验，满足题意，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，
解析　设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，
2.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为(　　)
解析　在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，
3.如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则可以计算A，B两点间的距离是(　　)
所以在△ACD中，由余弦定理得
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)A.30° B.45° C.60° D.75°
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
解析　由题意知，∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°.
解析　由已知得sin A(sin A＋sin C)＝cs A(cs A＋cs C)，∴cs2A－sin2A＝sin Asin C－cs Acs C，∴cs 2A＝－cs(A＋C)＝cs B.∵△ABC是锐角三角形，
因为M为BC的中点，所以BC＝8.
解析　连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝180°－120°＝60°.
因为∠DCO＝∠COA，且0°＜∠COA＜120°，所以∠DCO＝∠COA＝45°，
解　若选择①，设∠BAC＝∠CAD＝θ，
由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·
设△ABC的外接圆半径为R，
12.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　)
由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，
13.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为____________________m2.
解析　在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cs∠AOB，