人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示当堂检测题
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空间向量的运算坐标表示同步练习
一、选择题
- 已知空间向量0，，1，，2，且，则向量与的夹角的余弦值为
A. B. C. D.
- 已知空间向量，，则
A. B. C. 5 D.
- 点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形包括边界内运动，且平面DMN，则PC的长度范围为（ ）
A. B. C. D.
- 若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A. B. C. 或 D. 2
二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面、内，，，且，，则CD的长为（ ）
A. 2a B. C. D.
- 如图，平行六面体中，，，，则
A. 1 B. 2 C. D.
- 在空间直角坐标系中，，B为EF的中点，C为空间一点且满足，若，则
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
- 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标是（ ）
A. B. C. D.
- 在空间直角坐标系中，给出以下结论：点关于x轴的对称点的坐标为；点关于Oxy平面对称的点的坐标是；已知点与点，则AB的中点坐标是；两点间的距离为其中正确的是
A. B. C. D.
- 已知空间向量，1，则向量与的夹角为
A. B. 或 C. D. 或
- 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，，且，，则二面角的正弦值是
A. B. C. D.
- 在空间直角坐标系中，，B为EF的中点，C为空间一点且满足，若，，则
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
二、填空题
- 若，，则与同方向的单位向量坐标是________．
- 已知，，若，则________．
- 已知，，则______．
- 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数x的值为
- 已知，，，则与的夹角为________．
三、解答题
- 已知空间中三点0，，，0，，设，．
若，且，求向量；
已知向量与互相垂直，求k的值；
求的面积．
- 已知空间三点，，设，，
求和的夹角；
若向量与互相垂直，求k的值．
求
- 已知向量，，．
求；
若，求m，n；
求
- 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D，E分别是AC，的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：向量0，，1，，2，，
，
，
，解得，
故1，，
向量与的夹角的余弦值为：
，
故选B．
2.【答案】D
【解答】
解：， ，
，．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
平面DMN截正方体的截面为梯形DMEN，其中，，
取中点F，在上取点H，使，在上取点G，使，
则平面平面，
动点P在正方形包括边界内运动，且平面DMN，
点的轨迹是线段GH，
易知0，，0，，3，，
0，，3，，
点C到线段GH的距离，
的长度的最小值为，
，，长度的最大值为．
的长度范围为
4.【答案】A
【解析】解：向量，
与夹角的余弦值为，
，
解得舍去．
故选：A．
5.【答案】A
【解答】
解：，，
，，且，，
，
．
故选A．
6.【答案】D
【解答】
解： 因为底面ABCD是平行四边形，，，，又，
所以．
因此的长为．
故选D．
7.【答案】D
【解答】
解：设y，，
因为，B为EF的中点，
则，
，，
因为，且，
所以
，
解得，
所以，
故选D．
8.【答案】B
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为1，，
则线段AB的中点坐标为．
故选：B．
9.【答案】C
【解答】
解：点3，关于x轴的对称点的坐标为，故错误；
点2，关于Oxy平面对称的点的坐标是2，，故正确；
已知点1，与点3，，则AB的中点坐标是2，，故正确；
两点1，、3，间的距离为：，故错误；
正确的是．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】
【解答】
解：空间向量，1，，且
则，解得，
代入得．
又向量夹角范围：，故的夹角为，
则与的夹角，当时为；时为．
故选：B．
11.【答案】B
【解答】
解：底面ABCD为矩形，则，又，且，平面PAB，。
，E为PB中点，，
则，即．
以A为原点建立空间直角坐标系，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，
则，
，
设平面BEC的法向量为，则，令，则，，则，
设平面DEC的法向量为，则，令，则，，则，
，
则的正弦值为，
故选B．
12.【答案】D
【解答】
解：设y，，因为，B为EF的中点，则，
，，因为，若，
所以
，
解得，
所以，
故选D．
13.【答案】
【解答】
解：，
，
与同方向的单位向量，
设单位向量为m，，，
且，
解得
与同方向的单位向量是， ，
故答案为：．
14.【答案】
【解答】
解：，0，，，，
，，
，
解得，舍去
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：，，
5，，
．
故答案为：．
16.【答案】3
【解答】
解：向量，，，
，，．
又，夹角的余弦值为，
，
解得．
故答案为3．
17.【答案】
【解答】
解：3，，
1，，
3，，1，．
再由，，设向量与的夹角，
则有 ．
故有，．
再由，可得．
故答案为．
18.【答案】解：，由于，故可设，
故，
解得，
故为或
，
，
由于与垂直，
则
所以
依题意，，，
故由余弦定理得，
所以，
故三角形面积为．
19.【答案】解：空间三点0，，1，，0，．
设1，，0，，
，，，
，
，．
向量与互相垂直，
，
解得．
．
则．
20.【答案】解：因为，
所以4，；
由，，
当时，，
解得，；
因为，，
所以，
，，
所以，．
21.【答案】证明：直三棱柱的所有棱长都是2，D，E分别是AC，的中点，
取中点O为坐标原点，为x轴，OD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
2，，1，，0，，2，，2，，
，0，，，
，，
，，
，平面；
解：平面，是平面的法向量，
0，，，，
设平面的法向量y，，
则，取，得1，，
二面角的余弦值为：
．
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