人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示精品达标测试

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示精品达标测试，文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步精品讲义第1章13空间向量及其运算的坐标表示原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步精品讲义第1章13空间向量及其运算的坐标表示教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

学习目标
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
知识点一 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
思考 空间直角坐标系有什么作用？
答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化．
知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
答案 x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
思考 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
答案 点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 的坐标也为(x，y，z)．
1．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( × )
2．空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．( √ )
3．关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．( √ )
一、求空间点的坐标
例1 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，C的坐标分别为________________；
②棱C1C中点的坐标为________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________．
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
反思感悟
(1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面．
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
跟踪训练2 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
三、空间向量的坐标
例3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(BC1,\s\up6(—→))的坐标．
反思感悟 向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 的坐标形式完全相同；
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．
跟踪训练3 已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，设点A，B在yOz平面上的射影分别为A1，B1 ，则向量eq \(A1B1,\s\up6(—→))的坐标为__________．
1．点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上 B．xOy面上 C．xOz面上 D．yOz面上
2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)
3．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D.eq \r(14)
4．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量eq \(AC1,\s\up6(—→))的坐标为________．
1．知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念．
(2)点的坐标．
(3)向量的坐标．
2．方法归纳：
数形结合、类比联想．
3．常见误区：
混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．

1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )
A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0)
2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．在x轴上 B．在xOy平面内
C．在yOz平面内 D．在xOz平面内
3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq \r(2)，eq \r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，eq \r(2)，0) B．(0，eq \r(2)，eq \r(3))
C．(1,0，eq \r(3)) D．(1，eq \r(2)，0)
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝eq \f(1,4)A1B1，则eq \(BE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)，－1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0，－1))
6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
7．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．
8．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为________．
9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\(OM,\s\up6(→))，\(ON,\s\up6(→))，\f(1,2)\(OP,\s\up6(→))))为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．
11．已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则向量点B的坐标为________．
12．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．
13．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________．
14.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
16．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
1．3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标
1.掌握空间向量的坐标表示.
2.掌握空间两点间距离公式.
3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
知识点一 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
思考 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
答案 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
知识点三 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
思考 已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
答案 OA＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
1．空间直角坐标系中，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与终点B的坐标相同．( × )
2．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).( × )
3．设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．( √ )
4．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12). ( √ )
一、空间向量的坐标运算
例1 (1)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))．
(2)已知a＝(λ＋1,1,2λ)．若|a|＝eq \r(5)，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
跟踪训练1 已知a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，则a＝________，b＝______，a·b＝________.
二、向量的坐标表示的应用
命题角度1 空间平行垂直问题
例2 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
命题角度2 夹角、距离问题
例3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．
跟踪训练2 如图，长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求FH的长．
(3)求EF与C1G所成角的余弦值；
利用空间向量解决探索性问题
典例 正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
[素养提升]
(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题．
(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点B的坐标应为( )
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
4．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝eq \r(110)，则m的值为________．
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为________．
1．知识清单：
(1)向量的坐标的运算．
(2)向量的坐标表示的应用．
2．方法归纳：类比、转化．
3．常见误区：
(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况．

1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，则C的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是( )
A．－6 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．14
4．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线|eq \(AC1,\s\up6(—→))|的长为( )
A．9 B.eq \r(29) C．5 D．2eq \r(6)
6．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
7．若eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,6，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq \(AB,\s\up6(→))，a⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则a＝________.
8．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则点P的坐标是________．
9．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的|eq \(AB,\s\up6(→))|.
10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq \r(3)，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
11．一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )
A.eq \r(37) B.eq \r(33) C.eq \r(47) D.eq \r(57)
12．已知O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值时，点Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)，\f(3,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(7,3)))
13．若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
14．三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P－ABC的体积为________．
15．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则eq \(BP,\s\up6(→))＝________.
16．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3