新疆乌鲁木齐市2021届高三年级第一次质量检测数学（理）试卷（含答案与解析）

新疆乌鲁木齐市2021届高三年级第一次质量检测数学（理）试卷（含答案与解析）

一、单选题

1．设集合，则（       ）

A． B．

C． D．

2．i为虚数单位，则复数的共轭复数是（       ）

A． B． C． D．

3．在空间中，下列命题正确的是（       ）

A．垂直于同一平面的两个平面平行

B．垂直于同一平面的两条直线平行

C．平行于同一直线的两个平面平行

D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行

4．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面，点B到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以O为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为（       ）

A． B． C． D．

5．已知为第一象限角，，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知等差数列的前n项和为，若，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．函数与的图象关于直线l对称，则l可以是（       ）

A． B． C． D．

8．在等比数列中，，若有最大值，则最大值为（       ）

A．16 B．32 C．64 D．128

9．定义在R上的奇函数在上是增函数，且，若，则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

10．设，则（       ）

A． B．

C． D．

11．设点分别是双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点A，使，且，则双曲线的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

12．四面体的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点作平面，平面截此四面体所得截面面积为，则球O的表面积为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．设变量满足约束条件，则的最大值为___________.

14．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量(单位：t)得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的分位数为满足的，则估计本例中___________.

15．如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形.若，设，则的值为___________.

16．已知函数在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是___________.

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，且.

（1）求边c的值；

（2）若的面积为，求它的周长.

18．如图，在三棱锥中，平面平面是等边三角形，，分别是的中点.

（1）求证；

（2）求二面角的正弦值.

19．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购买.

（1）求每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖的概率；

（2）某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X的数学期望；

（3）请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，共售出了730瓶，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损(每瓶的成本是2元).

20．已知椭圆的左､右集点分别为，离心率，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点A为椭圆在第一象限上一点，过点作的垂线交该椭圆于两点，求四边形面积的取值范围.

21．设函数(其中).

（1）若函数在处取得极小值，求实数k的值；

（2）当时，若函数在上有两个不相等的零点，求实数k的取值范围.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若过曲线上任意一点M作曲线的切线，切点为N，求的最大值.

23．已知都是正数，且，用表示的最大值，.

（1）证明；

（2）求M的最小值.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

求解出集合，在利用集合间关系的定义可得答案．

【详解】

解：设集合，，

则集合包含集合的所有元素，集合是集合的子集且是真子集，

故，.

故选：A．

2．C

【解析】

【分析】

先根据复数的除法运算化简，然后根据共轭复数的概念求解出的共轭复数.

【详解】

因为，的共轭复数为，

故选：C.

3．B

【解析】

【分析】

利用空间线线、线面、面面位置关系判定与性质定理即可判断出正误．

【详解】

A.垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，因此不正确；

B.垂直于同一平面的两条直线平行，正确；

C.平行于同一直线的两个平面平行，不正确，两个平面可能相交；

D.平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行，不正确，直线可能在平面内．

故选：B．

4．B

【解析】

【分析】

根据题意建立合适平面直角坐标系，设出抛物线的方程，根据的坐标求解出抛物线的方程，由的横坐标可计算出的纵坐标，结合长度可求解出的高度.

【详解】

以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记且垂足为，

在轴上的投影点为，设抛物线方程为，

由题意可知：，

所以，所以，代入抛物线方程可知，

所以，所以抛物线方程为，

又因为，所以，

所以，所以，

所以的高度为，

故选：B.

5．D

【解析】

【分析】

根据已知条件先求解出的值，再分析的范围结合二倍角的余弦公式求解出的值.

【详解】

因为，所以，所以

又因为且为第一象限角，所以，

所以，所以，

故选：D.

6．C

【解析】

【分析】

利用通项公式和求和公式可以得到为等差数列，利用此性质得到方程求解即得.

【详解】

∵，∴是等差数列，

，是其中的连续三项，

∴，

解得

故选:C.

【点睛】

是以为首项，以数列的公差的一半为公差的等差数列，这是一个很有用的结论.

7．D

【解析】

【分析】

设出图象任意一点，得到其关于的对称点，根据对称点在图象上通过化简计算得到关于的等式，由此确定出的可取方程.

【详解】

设图象上任意一点为，，关于的对称点为，

所以，且在图象上，

所以，

所以与为同一函数，

所以，所以，

当时，，所以可以是，

故选：D.

8．C

【解析】

【分析】

根据已知条件先求解出的值，然后求解出的通项公式，采用分类讨论的方法分别分析是否有最大值，若有最大值则根据数列的单调性求解出其最大值.

【详解】

因为，所以，

所以，所以或，

当时，，所以，所以，

所以，

因为在时单调递增，无最大值，故不符合，

当时，，所以，所以，

所以，

因为在时单调递增，在时单调递减，

且，所以，

所以的最大值为，

故选：C.

9．A

【解析】

【分析】

根据在上是增函数，且，可以得到在上的正负情况，进而结合奇函数的性质，得到的解集，进而结合指数函数的性质可求得的解集.

【详解】

∵在上是增函数，且，

∴当时,当时

又∵为奇函数，∴当时，0；

当时，，

又∵

∴的解集为，

∴由可得或，

由指数函数的性质，无解，的解集为，

故选：A.

10．B

【解析】

【分析】

先求得，，，故，利用基本不等式结合放缩法证得，从而求得结果.

【详解】

解：∵

又，故，

∵，故，

，

∴

∴

故选：B.

11．D

【解析】

【分析】

先利用双曲线的定义，用含的式子表示出和，再在△中，由余弦定理可推出，从而得解．

【详解】

解：由双曲线的定义知，，

，，，

在△中，由余弦定理知，，

化简得，，

离心率．

故选：D．

12．D

【解析】

【分析】

将四面体ABCD放置在正方体中，得到平面截此四面体所得截面三角形，由其面积求得正方体的棱长，进一步求出正方体的对角线长，可得四面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．

【详解】

解：将四面体ABCD放置在正方体中，如图，

设正方体的棱长为a，则，

取CD中点M，连接AM，BM，则为平面截此四面体所得截面，

由题意，，得．

正方体的对角线长为，则球O的半径为，

可得球O的表面积为．

故选：D．

【点睛】

将几何体植入正方体或长方体中，利用正方体或长方体的性质，可以比较方便的求解四面体的外接球问题.

13．6

【解析】

【分析】

本题考查简单的线性规划，属基础题，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，将目标z与直线的纵截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得最优解.

【详解】

如图，画出可行域，易得,当目标函数可化为,此直线的斜率为2，纵截距为经过时纵截距最小，z取得最大值，最大值为,

故答案为：6.

14．

【解析】

【分析】

根据题意先分析的含义，然后利用频率分析出所在的区间，再根据频率之和的结果计算出的值.

【详解】

由题意可知：就是满足的横坐标的值，

因为对应的频率为，

对应的频率为，

对应的频率为，

对应的频率为，

所以落在内，设距离的距离为，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

利用三角形找到边长之间的关系，利用向量的基本定理的分解唯一性可以直接解出的值，进而计算．

【详解】

解：设，，

在三角形中，，

，

如图过作的延长线的垂线，垂足为,连接.

，

，

，，

．

故答案为：．

16．

【解析】

【分析】

利用导数与函数的单调性的关系和导数的几何意义可求得,对，,分别讨论，利用换元思想和，结合不等式性质，二次函数的性质，分析综合得到的取值范围.

【详解】

由已知得：恒成立且有解，

∴,

①当时，可得,∴,

②当时，,且,

,

③当时，,且,

,

令,

,

∴,

综上，,

故答案为：

【点睛】

要注意理解恒成立且等号能够取到的意义，得出是关键一步，下面分类讨论是一定要仔细周密.

17．（（1）2;（2）6．

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理化简已知等式即可求解的值．

（2）由已知利用三角形的面积公式可求，进而利用余弦定理可得，即可得解的周长的值．

【详解】

解：（1）因为，

由余弦定理可得，

所以．

（2）因为，的面积为，

可得，

由余弦定理，可得，可得，

可得的周长．

18．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连接，通过证明，去证明平面，再根据中位线关系即可证明；

（2）建立合适空间直角坐标系，分别计算出平面、平面的一个法向量，然后求解出法向量夹角的余弦值，再求解出法向量夹角的正弦值，则二面角的正弦值可求.

【详解】

（1）取的中点，连接，

因为为等边三角形，所以，

又因为，所以，

所以为等腰直角三角形，所以，

又，所以平面，

因为平面，所以，

又分别是的中点，所以，

所以；

（2）因为平面平面，平面平面，

又，所以平面，

分别以方向为轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，所以，

所以，

取平面一个法向量为，设平面的一个法向量为，

因为，所以，取，所以，

所以，

所以，

所以二面角的正弦值为.

19．（1）；（2）219（箱；（3）7元．

【解析】

【分析】

（1）结合组合的应用，由古典概型概率公式计算即可得解；

（2）由题意可得，由二项分布的期望公式计算即可得解；

（3）设每瓶的售价定为元，可得前3天全部销售额为元，再求出总成本及中奖消费金额，列不等式即可求得的取值范围，即可得解．

【详解】

（1）记“每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖”为事件，

则（A）．

（2）前三天促销活动中共开箱饮料，

依题意，，

故抽中奖的箱数的数学期望为（箱．

（3）设每瓶的售价定为元，则前3天全部销售额为元，总成本为元，

设每个人获奖金额为，则的取值可能为0，10，20，30，

，

，

，

，

故，

故前3天用于中奖消费金额为元，

若想前3天不亏损，则，

解得，

故每瓶售价至少7元．

20．（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据离心率和定点求出椭圆方程即可；（2）求出四边形的面积的最大值和最小值，即可得到所求面积的取值范围．

【详解】

解：（1）由题意可得，解得，，，

即椭圆的标准方程为；

（2）由题意不垂直于轴，设直线方程为，设，，

得

则，

①

设点，

则，又点在椭圆，即代入得，

因为，则，即代入①得

则四边形的面积

令

则

令，则

 设

对恒成立，

则在单调递增， 则，

故

综上，四边形的面积的取值范围是，．

【点睛】

方法点睛：平面解析几何中计算多边形的面积的方法是把多边形分为若干三角形计算出每个三角形的面积而后加起来.有规则的图形和不规则的图形，常将问题转化到三角形、圆、特殊四边形中，应用相关面积公式求解,有时要综合考虑问题,将不规则图形转化到规则图形中求解.研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三角形，根据韦达定理求或，然后利用面积公式求解.

21．（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）求导，根据（1），即可求得实数的值；（2）令导函数等于0，可得，，然后分及讨论，时再分，以及讨论得出结果．

【详解】

解：（1），

依题意，（1），则，经验证，当时，符合题意；

（2）显然，令，则，，

①若，而，，故，此时，

在，上单调递减，不可能有两个零点，不合题意；

②当，时，

若，此时在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，

而时，，有两个解且符合条件；

若，，此时在，上单调递增，不合题意；

若，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，

而，故需，即，

设，则，令，则在上小于0恒成立，

在上单调递减，

又（1），，故存在，使得，

则在上单调递增，在，上单调递减，

又，

在上恒成立，即符合条件．

综上，实数的取值范围为．

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

22．（1）；；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设，则，消去参数得曲线的普通方程.利用公式将的极坐标方程化为直角坐标方程.

（2）由勾股定理得，设，利用两点间距离公式结合三角函数最值即可求解.

【详解】

解：（1）曲线的参数方程为(t为参数)，设，

则（为参数）

消去参数得.

的极坐标方程为，

则，即.

（2）MN为曲线的切线，由勾股定理得，

其中，设，

∴，

当时，最大，且最大值为25.

∴，

故.

23．(1)见解析；（2）.

【解析】

【分析】

1由已知，利用“1的代换”结合基本不等式证明；

2由题意，，，，把三个式子平方作和，再由均值不等式求最值．

【详解】

1证明：，

，

当且仅当时等号成立，

故；

2解：由题意，，，，

，

当且仅当时上式等号成立．

，即M的最小值为．

【点睛】

本题考查不等式的证明和利用基本不等式求最值，是中档题．关键难点是第（2）问中的转化，并注意取等号的条件.