北师大版九年级上册第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系学案

2.5          一元二次方程的根与系数的关系

学习目标

1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。

重点：一元二次方程根与系数的关系及简单应用

难点：探索一元二次方程根与系数的关系

【预习案】

利用一元二次方程的相关知识然后完成列任务。

1、一元二次方程根的判别式为：

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当时，方程有两个相等的实数根。

（3）当时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则          ；方程有两个相等的实数根，则       ；方程没有实数根，则          。

阅读课本49至50页例题以上内容，请你归纳出一元二次方程根与系的关系，然后完成下列任务。

2、先判断下列方程根的情况然后解出下列有解方程的两根，再完成：

①求出每个方程的两根和、两根积；

②求出各方程中一次项系数与二次项系数的商的相反数和常数项与二次项系数的商。

     （1）x2 -2x+1=0       （2）x2 -2x-1=0       （3）2x2-3x+1=0

 3、写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，并计算出两根和、两积。想一想，一元二次方程根与系数有怎样的关系？

4、通过2、3两题的结果，不解方程，利用根与系数的关系求出下列方程的两根和、两根积。

   （1）x2+3x+1=0；       （2）3x2－2x－1=0；       （3）2x2+5x=0。

【探究案】

1、提问：一元二次方程根的判别式是什么？

三、自主探究  合作释疑

【自主学习一】：在预习的基础上，再次阅读课本49页，然后独立完成下列问题（6分钟）：

      1、写出下列每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

（1）x2 -2x+1=0       （2）x2 -2x-1=0       （3）2x2-3x+1=0

     2、求出方程（1）x2 -2x+1=0    （2）x2 -2x-1=0    （3）2x2-3x+1=0的两根和、两根积。

  3、求出每个方程一次项系数与二次项系数的商的相反数和常数项与二次项系数的商；并比较第2小题的结果，你发现了什么？

合作探究：P49页，小组共同证明一元二次方程根与系数的关系。

结论：一元二次方程根与系数的关系：

如果方程有两个实数根（当）时根为：x1 ，x2 ，则

x1 +x2 =     x1 x2 =

       用文字叙述为：如果一元二次方程有两个实数根，则两根之和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的商。

 例题学习、方法总结 请同学们独立学习课本50页例题。然后回答下列问题：

1、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条件是什么？

2、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤是什么？

 方法总结：（1）利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条件是方程必须要有实数根。（△=b2-4ac≥0）

          （2）利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤是：①先将方程化为一般式；②判断根的情况；③在方程有解的前提下再求两根和、两根积。             

运用所学知识，完成下列问题：

1.如果x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则x1+x2=_________.

2.不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积。

（1）      （2）

（B层题）：3、课本50页随堂练习2

           4、课本50页随堂练习3

（A层题）5、已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是，则这个方程是（     ）

（A）x2+3x-2=0   （B）x2+3x+2=0（C）（D）

【自主学习二】：请同学们通过你自已学到的方程知识完成下面的例题，并思考回答后面的问题。

  例：已知方程的一个根是2，求方程的另一个根及的值。

     问题：1、解答此题你用到了哪些知识？

           2、解此类题的基本思路是什么？

        归纳反思：基本思路是：

①首先将已知根代入方程求出未知系数；

                  ②其次是将已求的未知系数的值代入方程，再根据根与系数的关系求出另一根。

合作探究 ：请同学们以小组为单位，不解方程，利用根与系的关系完成例2，并思考回答后面的问题。

例2： 如果是方程的两个根，则求出下列代数式的值。

①             ②x21+x22

      问题：求解关于一元二次方程两根代数式的值的基本思路是什么？

归纳反思：基本思路是：

①先将代数式通过恒等变形转化成两根和、两根积形式；

②准确写出a与b的值；

③根据根与系数的关系，求出变形后代数式的值。

【训练案】

运用所学知识，完成下列问题：

1、已知方程的一个根是，求方程的另一个根及c的值。

2、若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

 A、1  B、﹣1             C、2  D、       ﹣2

3. 、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）   （2）+    （3）（x+2）（x+2）     （4）

4、已知方程的两个根分别是2与3，则a=          . b=       

5、x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值

（1）(x1+1)(x2+1)；  （2）x12x2+x1x22；