初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形综合与测试精练

冀教版七年级数学下册第九章 三角形难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（       ）

A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性

C．两点确定一条直线 D．垂线段最短

2、如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°，则∠BOC的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°

3、下列图形中，不具有稳定性的是（       ）

A．等腰三角形 B．平行四边形 C．锐角三角形 D．等边三角形

4、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（        ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

5、已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（       ）

A． B． C． D．

6、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7

7、如图，将的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（       ）．

A．45° B．60° C．35° D．40°

8、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（     ）

A．两点确定一条直线

B．两点之间，线段最短

C．三角形具有稳定性

D．三角形的任意两边之和大于第三边

9、下列图形中，不具有稳定性的是（       ）

A． B．

C． D．

10、如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1=35°，那么∠2=___度．

2、如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则___________度．

3、如图，为△ABC的中线，为△的中线，为△的中线，……按此规律，为△的中线．若△ABC的面积为8，则△的面积为_______________．

4、图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是_____．

5、如图：中，，，于D，CE平分，于F，则______°．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．

（1）求证：AB//CD；

（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；

（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．

2、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD．

3、已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．

(1)如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；

(2)如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；

(3)如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．

4、如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝80°，∠ECD＝25°，求∠ACB的度数．

5、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线AE交BC于点P，∠BAE＝15°；过点C作CD⊥AE于点D，连接BE，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若∠ABE＝75°，求证：BE∥CF．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

首先要考虑梯子中间设置“拉杆”的原因，是为了让梯子更加稳固，而更加稳固的原因是“拉杆”与梯子两边形成了三角形．

【详解】

人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加梯子的稳定性．

故选：B．

【点睛】

本题考查三角形的稳定性，善于从生活中发现数学原理是解决本题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

由旋转的性质可得∠AOC＝65°，由∠AOB＝30°，即可求∠BOC的度数．

【详解】

解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，

∴∠AOC＝65°，

∵∠AOB＝30°，

∴∠BOC＝∠AOC−∠AOB＝35°.

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可作出选择．

【详解】

解：平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故A符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形和三角形的性质，解题的关键是记住三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．

4、B

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得答案．

【详解】

解：设三角形的第三边为，由题意可得：

，

即，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．

6、C

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．

【详解】

解：A、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C、因为 ，所以能组成三角形，故本选项符合题意；

D、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

由折叠得到∠B=∠BCD，根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°，代入度数计算即可．

【详解】

解：由折叠得∠B=∠BCD，

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，

∴65°+2∠B+25°=180°，

∴∠B=45°，

故选：A．

【点睛】

此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据三角形具有稳定性进行求解即可．

【详解】

解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．

9、B

【解析】

【分析】

由三角形的稳定性的性质判定即可．

【详解】

A选项为三角形，故具有稳定性，不符合题意，故错误；

B选项为四边形，非三角形结构，故不具有稳定性，符合题意，故正确；

C选项为三个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误；

D选项为两个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误．

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形的稳定性，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性注意①要看图形是否具有稳定性，关键在于它的结构是不是三角形结构②除了三角形外，其他图形都不具备稳定性，因此在生产建设中，三角形的应用非常广泛．

10、B

【解析】

【分析】

根据三角形的中线的定义判断即可．

【详解】

解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，

∴AE=EC=AC，AB=2BF=2AF，BC=2BD=2DC，

故A、C、D都不一定正确；B正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

二、填空题

1、65

【解析】

【分析】

根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3=∠2．

【详解】

解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=∠ABC=35°，

∴∠3=∠C+∠ABC=30°+35°=65°，

∵直线l1∥l2，

∴∠2=∠3=65°，

故答案为：65．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．

2、20

【解析】

【分析】

利用平行线的性质求出∠1，再利用三角形外角的性质求出∠DCB即可．

【详解】

解：∵EF∥CD，

∴，

∵∠1是△DCB的外角，

∴∠1-∠B=50°-30°=20º，

故答案为：20．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

3、

【解析】

【分析】

根据三角形的中线性质，可得△的面积=，△的面积=，……，进而即可得到答案．

【详解】

由题意得：△的面积=，△的面积=，……，△的面积==．

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．

4、三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性

【解析】

【分析】

根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性解答．

【详解】

由图示知，四边形变形了，而三角形没有变形，其中所蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．

故答案是：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．

【点睛】

本题考查了三角形的稳定性和四边形具有不稳定性，关键抓住图中图形是否变形，从而判断是否具有稳定性．

5、80

三、解答题

1、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°

【解析】

【分析】

（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；

（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；

（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．

【详解】

证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC

∴∠AEG=∠C    

∴AB//CD

（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°

∴∠DGC+∠AHF=180°

∴EC//BF  

∴∠B=∠AEG

由（1）得∠AEG=∠C    

∴∠B=∠C

（3）由（2）得EC//BF

∴∠BFC+∠C=180°

∵∠BFC=4∠C    

∴∠C=36°    

∴∠DGC=36°

∵∠C+∠DGC+∠D=180°    

∴∠D=108°

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

2、见解析

【解析】

【分析】

连接，，再根据三角形的三边关系即可得出结论．

【详解】

连接，，

，，

．

当且仅当CD过圆心O时，取“=”号，

．

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边．

3、 (1)∠1＝40°

(2)∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系为：∠AFE＝∠E+∠MHE

(3)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质得∠1＝∠CHG，再由平角的定义得∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，进一步求出∠1的度数即可；

（2）由平行线的性质得∠AFE＝∠CME，由三角形外角性质得∠CME＝∠E+∠MHE，从而求得结论；

（3）设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．由平行线的性质和三角形外角性质得∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH＝x，故可得∠Q＝15°+x．再证明∠CEH＝210°﹣x．∠QEH＝105°﹣x，由∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°得15°+x+105°﹣x+∠QPE＝180°求得∠QPE＝60°，从而∠QPE＝∠H故可得结论．

(1)

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠CHG．

∵∠2＝2∠1，

∴∠2＝2∠CHG．

∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，

∴3∠CHG+60°＝180°．

∴∠CHG＝40°．

∴∠1＝40°．

(2)

∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系为：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：

∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠CME．

∵∠CME＝∠E+∠MHE，

∴∠AFE＝∠E+∠MHE．

(3)

证明：设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．

∵AB∥CD，

∴∠BFT＝∠ETF．

∵∠EFT＝∠ETF，

∴∠EFT＝∠BFT＝∠EFB＝90°﹣x．

∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH＝x．

∵∠Q﹣∠HFT＝15°，

∴∠Q＝15°+x．

∵AB∥CD，

∴∠AFE+∠CEF＝180°．

∴∠CEF＝180°﹣x．

∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．

∵EQ平分∠CEH，

∴∠QEH＝∠CEH＝105°﹣x．

∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，

∴15°+x+105°﹣x+∠QPE＝180°．

∴∠QPE＝60°．

∵∠H＝60°，

∴∠QPE＝∠H．

∴PQ∥FH．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．

4、75°

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数．

【详解】

解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝80°，

∴∠DAC＝40°，

∵CE是△ADC边AD上的高，

∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°，

∵∠ECD＝25°

∴∠ACB＝50°+25°＝75°．

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和定理．解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质．

5、（1）；（2）证明见详解．

．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得，，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得，，最后由平行线的性质即可得出；

（2）由题意及各角之间的关系可得，得出，利用平行线的判定定理即可证明．

【详解】

解：（1）∵，，，

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴；

（2）∵，，

∴，

由（1）可得，

∴，

∴（内错角相等，两直线平行）．

【点睛】

题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．