北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式导学案及答案

2.4　积化和差与和差化积公式

积化和差公式与和差化积公式

思考：1.积化和差与和差化积公式中的角都是任意角吗？

提示：都是任意角．

2．“sin α－sin β＝2cossin”正确吗？

提示：不正确．sin α－sin β＝2cos sin .

1．sin 15°cos 165°的值是(　　)

A．　　　　　 B．

C．－ D．－

C　[sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)＝－sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－，故选C．]

2．化简的结果为(　　)

A．tan α B．tan 2α

C． D．

B　[原式＝＝tan 2α.]

3．sin 75°－sin 15°的值为(　　)

A． B．

C． D．－

B　[sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2××＝，故选B．]

【例1】　求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.

[解]　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°

＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)

＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.

套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．

[跟进训练]

1．求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.

[解]　原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)

＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.

[探究问题]

1. 证明三角恒等式的基本原则是什么？

提示：证明三角恒等式的基本原则是化繁为简，即由较为复杂的一边向较简单的一边证明，注意观察等号两边的函数名和结构形式的差异，利用三角函数公式进行转化．

2．在三角函数公式中“弦”和“切”如何互化？

提示：利用公式tan x＝可实现“弦”和“切”的互化．

【例2】　求证：tan－tan＝.

[思路点拨]　思路一：从等号左边向等号右边证明，把切化为弦，通分后利用和差化积与积化和差公式变形可得；

思路二：从等号右边向等号左边证明，利用和差化积与积化和差公式变形，然后把弦化为切可得．

[证明]　法一：∵tan－tan＝－

＝＝

＝＝＝.

∴原式成立．

法二：∵

＝

＝＝－＝tan－tan.

∴原式成立．

(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值．(2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．

[跟进训练]

2．证明：＝.

[证明]　原式＝

＝

＝＝＝.

∴原式成立．

1．本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系．

2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B． (　　)

(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B． (　　)

(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos Acos B． (　　)

(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Acos B． (　　)

[提示]　(1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)错误，cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin Asin B．

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．cos 72°－cos 36°的值为(　　)

A．3－2　　　　　 B．

C．－ D．3＋2

C　[原式＝－2sinsin

＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72°

＝－2·＝－

＝－＝－.]

3．sin 37.5° cos 7.5°等于(　　)

A． B．

C． D．

C　[sin 37.5 °cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]

＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.故选C．]

4．求函数y＝sinsin的最小正周期．

[解]　f(x)＝sincos x＝＝sin＋，

∴最小正周期T＝＝π.