宁夏吴忠中学2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题（含答案）

吴忠中学2020--2021学年第二学期期末考试

高二数学试卷（理科）

命题人：祁磊                     2021.07

一．选择题(本题共12道小题，每小题5分,共60分)

1．已知集合,集合,全集为,则图中阴影部分表示的集合是(    )

A．   B．  C． D．

2．已知复数满足（为虚数单位），则（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）

A． B． C． D．

4．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，这6个人的入园顺序的排法种数是（    ）

A．12 B．24 C．36 D．48

5．在中国共产党建党100年之际，吴忠中学团委决定举办“感党恩，学党史"演讲活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定演讲比赛顺序，则高二年级5名同学的作品在前7位全部比赛完的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．“”是“函数在上为增函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（    ）

A．360 B．180 C．90 D．45

8．2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常､早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：

由上表可得线性回归方程，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知随机变量，满足，，且，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．      B． C．  D．

11．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． 

C. D．

12．若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（    ）

A．    B    C．    D．

二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．=____.

14．从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是_______

15．某次数学考试满分150分，某班同学的成绩服从正态分布，若在区间(70，110)的概率为0.8，则任取三名同学的成绩，仅一名同学的成绩不低于110分的概率为___________.

16．当直线与曲线的图象相切时，的最小值为____________.

三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12分）如图（1）所示，在中，是边上的高，且，，是的中点．现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图（2）所示．

（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．

18. （本小题12分）已知数列满足，.

（1）求，，的值；

（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

19．（本小题12分）市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：

将学生日均课外体育锻炼时间在内的学生评价为“课外体育达标”.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；

（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率.

附：参考公式及临界值表：，其中 .

20.（本小题12分）已知椭圆：的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点.若，，求证：为定值.

21.（本小题12分）已知函数，.

（1）若是的极值点，求的单调区间；

（2）若，证明

22.（本小题10分）在极坐标系中，点，，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.

（1）在直角坐标系中，求点，的直角坐标及曲线的参数方程；

（2）设点为曲线上的动点，求的取值范围.

               高二下学期期末考试答案

一．选择题

1.   B  2.C  3.B  4.B  5.A  6.A  7.B  8.B  9.C   10.A  11.D  12.C

二．填空题

13.   14.    15. 0.243   16. -e
14. 17.（1）由图（1）知，在图（2）中，，，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，

∴；

（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系，

不妨设，则，，，，

∴，，，

设平面的法向量，则，即，

令，得，，则是平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角是，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：（1），．，，．

（2）由，，的值，可猜想，

证明：①当时，由得结论成立；

②假设时结论成立，即．

当时，．

当时结论成立．

由①②可知，对任意正整数都成立．

19.（1）

，

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.

（2）易知，所抽取的10名学生中，男生为名，女生为名.X可取.

.

的分布列为

.

（3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，（1）中表中学生课外体育达标的频率为，将频率视为概率，.

名学生中，恰好有2名学生的课外体育达标的概率为.

20.（1）因为椭圆的焦距，所以.

又因为椭圆过点，所以.

又因为，所以，.

所以椭圆的标准方程为：.

（2）设点，，，.

由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为.

联立，得.

由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，必有.

由韦达定理可得，.

因为，，

得，.

依题意，，，

所以，.

所以.

所以为定值.

21（Ⅰ）由已知可得，函数的定义域为，且；

因为是的极值点，所以，解得，

此时；

故当时，；当时，；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）若，则，，

设，；

则；

令，，

则对任意恒成立，

所以在上单调递减；

又，，

所以，使得，即，则，即；

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减；

故，即.

22.（1）由，，解得，.

因为，所以，

即，

所以曲线的参数方程为，(为参数).

（2）不妨设，

则

，

因为，所以，

所以的取值范围是.