华东师大版数学八年级上册 复习题(1)（教案）

《全等三角形复习课》导学案设计

个性设计

或随堂手记

一、【学习目标】

1.通过问题1解决的多样性和方法的灵活性概括本章知识体系。

2.通过“学会看病”纠正大家认知方法上的误区和弥补大家的知识漏洞。

3.能从运动的观点认识全等图形，促进大家的思维的有效成长，强化大家对几何图形的本质的理解。

二、【重点】全等三角形知识的综合应用。三、【难点】辅助线的作法。

四、【学习流程】■【展示任务】学习流程：请同学们回忆本章知识，后独立完成问题1---问题4。注意方法的灵活性和多样性。教师批阅后，有疑问的在组内进行对学、群学。展示课前学科助理分配任务：每个同学主讲一个任务。组内展示流程：每个任务一人主讲（主要认识，方法，思路）、大家补充（不同认识、方法、思路）。

自学目标一:呈现开放问题，建构知识体系 （重点）

问题1：如图1，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，要使

△ABE≌△ACD，可以添加的一个条件是           （请提供尽可能多的方法）

S：可以添加AB=AC(或BD=CE),也可添加∠B=∠C(或∠ADC=∠AEB, ∠BDC=∠CEB)

T:请说明理由.S:…..，前者是利用SAS，后者是利用ASA(或是AAS)T：很好，还有其他不同的方法吗？

S：还可以添加DO=EO,T:说说你的理由.S:连接AO，利用SSS易证得△ADO≌△AEO，则有∠ADC=∠AEB,再利用ASA就可证得△ABE≌△ACD。

T:那还有不同的方法吗？谁愿意把自己的智慧与大家分享？

S:可以添加BO=CO.

T:把你的证明思路说一下.S:连接AO，….连接BC…也不行，看来证不了.

问题2:全等三角形给你留下多少印象？请尝试填写以下知识点（构建知识体系）

（1）全等三角形的概念？

（2）全等三角形的性质有哪些？

（3）请说出全等三角形的判定方法.

（4）角平分线的性质及逆定理是什么？线段的中垂线的性质及逆定理又是什么？

（5）如果用运动的观点看，全等三角形可以用哪些变换（或变换组合）产生?

自学目标二:解剖病理档案，提高认知水平 （重点）

问题3：下列各题已有解答的有“病”吗？如果有“病”，请写出“病因”；如果没有解答的，你认为易让别人犯错的“陷阱”在哪儿？

S：不能这样证明，虽然图形相同，但拼法不同，拼出来的图形未必全等.T:你能举一个例子吗？

S:例如2块全等的且含30°的直角三角板，既可以拼出等边三角形,也可以拼出顶角为120°的等腰三角形，还可以拼出矩形.

T:那本题该如何证明呢？

（1）如图2，已知B、D、E、C四点共线，且△ABD≌△ACE，

求证：△ABE≌△ACD

证明：∵△ABD≌△ACE  ∴△ABD+△ADE≌△ACE+△ADE

∴△ABE≌△ACD

错因分析或陷阱是                                                                                 

正确解答是：                                                                                 

（2）如图3，已知AO平分∠BAC，且∠OBC=∠OCB，

求证：△ABC是等腰三角形.

证明：∵∠OBC=∠OCB                            

∴OB=OC

∵AO平分∠BAC

∴∠BAO=∠CAO

在△AOB和△AOC中，         

错因分析或陷阱是                                                                                 

正确解答是：                                                                             

S:不能用SSA来证明全等.T:为什么？你能画一个反例吗？S：画图解释

T:由于SSA不能用来唯一确定三角形,因此不能用它来证明全等，那正确的方法又是怎样的呢？

S：可以利用角平分线的性质.过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC,垂足分别为E,F.则OE=OF,再

结合OB=OC,由HL就得到△OEB≌△OFC,于是∠ABO=∠ACO，从而∠ABC=∠ACB,故AB=AC

（3）判断：两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等。

解：如图4，通过两次全等，可以证明这个命题是正确的.

错因分析或陷阱是                                                                                 

正确解答是：                                                                             

S:这个证明错了.因为三角形的高可能在三角形内，也可能在三角形外.

T:请举一个反例.S:它们的两边对应相等，且第三边的高是同一条线段.但两个三角形不全等.

自学目标三:查漏洞写病因，完善认知结构 （重点）

S:第1题选C，其中④是SSA，不能保证全等.第（2）题可以把△ABE绕点B逆时针旋转90°,则AB与BC重合,这时

显然四边形BEDE’是正方形，且它的面积就是四边形ABCD的面积.所以选C.第（3）题由翻折可知,AD=DF=BD,于是

∠DFB=∠B=50°，则∠ADF=100°，故∠ADE=∠FDE=50°.

问题4：下列例题请先做一做，看自己有无“漏洞”。如果有，请尝试写出 “病因”。

(1)如图5，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF;          ②AB=DE, ∠B=∠E，BC=EF;

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；  ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E。

其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（    ）

A.1组    B.2组     C.3组        D.4组

（2）如图6，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E，且四边形ABCD

的面积为8，则BE=（     ）A.2    B.3      C.    D.

（3）如图7，△ABC中，D为AB的中点，将△ABC沿DE所在的直线翻折，使点A恰好落在BC上F处，若∠B=50°,则∠ADE=                   

T:四边形BEDE’显然是正方形，谁能证明？

S:△ABE绕点B逆时针旋转90°后，

则∠BED=∠D=∠E’=90°那么四边形BEDE’是矩形，而BE=BE’

故四边形BEDE’是正方形.T:这个证明是否存在漏洞？

S:还需证明D,C,E’三点共线。∵∠BCE’+∠BCD=∠A+∠BCD=360°-∠ABC-∠D=180°.

T:大家对第（3）还有不同的想法吗？

S:还可以通过证明DE∥BC来得到结果.连接AF，又翻折知DE⊥AF，由AD=DB=DF得△AFB为直角三角形,AF⊥BC，故DE∥BC

S:设AF与DE的交点为G，则由翻折可知G为AF的中点,而D又为AB的中点，故有中位线的性质可得到DE∥BC.

自学目标四:拓展问题变式，提升思维能力  （难点）

问题5:如图8，已知△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C,

求证：AB+BD=AC。

S:截长法和补短法

T:接下来请第七小组的同学来展示变式1

变式1：如图9，已知△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且交点为O，求证：OE=OD。

S:像上题一样利用轴对称性作辅助线.在BC上截取BF=BE，则易证OE=OF，于是问题即证OF=OD，通过证△OCD≌△OCF，题中已经有了两个条件，还缺一个条件，请看还有哪些条件没有用到？

∵∠A=60°,又由角平分线的定义得出∠BOC=120°，∴∠EOB=∠DOC=60°=∠EOB=∠BOF

T:同学们思考一下，不能直接构造全等三角形吗？这里的角平分线还可以给你怎样的启示？

S:利用角平分线的性质，如图，过O分别作OG⊥AB，垂足为G，OH⊥AC，垂足为H，∵

∠ABC, ∠ACB的平分线交于O点,∴O为△ABC的内心,故AO也平分∠A，则OG=OH,

又由∠GEO=∠GAC+∠ECA=60°+∠ECA，而∠HDO=∠ECA+∠DOC=60°+∠ECA，∴∠GEO=∠HDO

从而证得△OGD≌△OHD，故OE=OD.

变式2：如图11，已知△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD、CE交于点O，且∠DBC=∠ECB=∠A，求证;BE=CD.

T:下面请第八小组来展示变式2.

S:过B、C分别作BF⊥CE,CG⊥BD，垂足分别为F、G,易得△BCF≌△CBG

故BF=CG,而∠BEF=∠A+∠ACE, ∠GDC=∠DOC+∠ACE=

∠DBC+∠ECB+∠ACE=∠A+∠ACE,又∠BFE=∠G=90°，于是

△BEF≌△CDG，即BE=CD。

T:还有其他的方法吗？

S:我构造等腰三角形，在CE上取点F，使CF=BD,则可得到

△BCF≌△CBD,故BF=CD,则只需证BE=BF即可.而∠BEF=∠A+∠ACE,

∠BFE=∠FBO+∠FOB=∠A+∠ACE,∴∠BEF=∠BFE,即BE=BF。

T:通过本节课的复习，你能否以知识点或题型

给上面的题型进行分类？你认为这些题目的典型性怎么样？

你有没有发现解题的规律或是数学方法？有什么补充？

请先写下来，再与同学们进行交流.

■【学习评价】

（一）自我评价：你对本节导学案完成情况如何？（  ）A.很好    B.较好    C.一般    D.较差

（二）达标测试（时间： 5分钟，共10分；）

如图AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F,且AE=EF.试问AC与BF相等吗？请说明理由

■【知识整理】

（一）   学习小结

知识梳理：                                                                                       

（二）心得感悟

习得感悟：