冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试当堂达标检测题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试当堂达标检测题，共32页。试卷主要包含了抛物线的顶点为等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（　　）

A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3
2、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
3、如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，不正确的结论是（ ）

A． B． C． D．
4、如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）
A．或6 B．或6 C．或6 D．或
6、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
－3
－2
－1
0
1
…

…
－11
－3
1
1
－3
…
对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
7、抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
8、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
9、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
10、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知二次函数y1＝x2－2x＋b的图象过点(－2，5)，另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是________．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为_____．

3、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．
4、已知二次函数，若，则y的取值范围是______．
5、如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG面积最大时，EF的长为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

2、如图1，抛物线C1： y＝ax2+bx+2与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，2）．

(1)求二次函数表达式；
(2)若点P为抛物线上第四象限内的点，且S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2，使点A的对应点为点D，抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点A．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．
3、已知二次函数的图像经过点，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；
(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为的中点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
5、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．
(1)求证：b＝0；
(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）
②求的值．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，
∴另一交点为
设抛物线解析式为，将点代入得

解得
抛物线解析式为
则顶点坐标为
当x＞0时，函数值y的取值范围是
故选A
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．
【详解】
解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大
∴点A对称的点的坐标为
∵
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．
3、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴求出与的关系．
【详解】
解：A、由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
；
故选项正确，不符合题意；
B、对称轴为直线，得，即，故选项正确，不符合题意；
C、如图，当时，，，故选项正确，不符合题意；
D、当时，，
，即，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
4、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为x=-1，
所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，故①正确；
由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；
由图象可知：抛物线开口向上，
∴a>0，
由对称轴可知：−<0，
∴b>0，故③正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；
所以，正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
5、C
【解析】
【分析】
表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵y=-x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，
①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，
∴-(-2)2-2m=5，
解得：m=-；
②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，
∴-12+m=5，
解得：m=6．
③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，
∴-()2+m•=5
解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），
综上所述，m=-或6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
6、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】
解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，
∴二次函数式为：
∵
∴二次函数的图像开口向下，故①正确；
∵
∴对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，二次函数的最大值是，故③错误；
若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：∵y=2（x-1）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
8、D
【解析】
【分析】
把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．
【详解】
解：二次函数与轴的一个交点为，
时，，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．
9、B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；
B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），
故当时，，即，故B错误，符合题意；
C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；
D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
10、C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x1＋x2＝− ＝2．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
二、填空题
1、x<−2或x>4## x＞4或x＜-2
【解析】
【分析】
先根据抛物线经过点（-2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．
【详解】
解：∵二次函数y1=x2-2x+b的图象过点（-2，5），
∴5=（-2）2-2×（-2）+b，
解得：b=-3，
∴二次函数解析式y1=x2-2x-3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-=1，
∴抛物线过点（4，5），
∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜-2或x＞4．
故答案为：x＜-2或x＞4．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组），关键是对二次函数的图象与性质的掌握和应用．
2、5
【解析】
【分析】
先求出抛物线y= a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．
【详解】
解：∵抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数），
∴对称轴为直线x=1，
∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A(-1，0)，
∴点B(3，0)，
∴OB=3，
∵C点和D点关于x=1对称，且点C(0，a+k)，
∴点D(2，a+k)，
∴CD=2，
∴线段OB与线段CD的长度和为5，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与与坐标轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大．
3、-3
【解析】
【分析】
根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．
【详解】
解：抛物线与轴交于原点，
当时，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．
4、
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．
【详解】
解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，
∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，
当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，
∴y的取值范围是-3≤y≤6，
故答案为：-3≤y≤6．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5、##
【解析】
【分析】
过点作，交于点，等面积法求得，设，进而根据得出比例式，根据矩形的面积为，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的的值，进而求得的长．
【详解】
解：如图，过点作，交于点，

∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，


设，则
四边形是矩形
，




整理得
设矩形的面积为，则
当取得最大值时，，此时
故答案为：
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案.
(1)
解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：
把代入抛物线的解析式得：

解得：
所以抛物线为：
(2)
解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，

而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.
【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键.
2、 (1)抛物线
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）把点和点的坐标代入解析式，建立方程组求解即可；
（2）过点作的平行线与抛物线的交点即为点，求出直线的解析式，令，求解即可；
（3）根据题意可求出抛物线的对称轴即抛物线的解析式，并求出封闭图形的端点，点和点，根据一次函数的性质，可以求得的取值范围．（）
(1)
解：抛物线过点，点，
，解得，
抛物线；
(2)
由（1）可知，抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
，顶点坐标为，
令，可得，
，
直线的解析式为：，
如图，过点作的平行线，交抛物线于点，点即为所求；

直线的解析式为：，
令，
解得或0（舍去），
，
；
(3)
点到点，函数向右移动了3个单位，向上移动了2个单位，
则抛物线的顶点为，即为，
抛物线的解析式为：，

；
当直线经过点，点时，
，解得，
当直线经过点，点时，
，解得，
结合图象可知，若直线与图形有公共点，的取值范围或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合思想，图象的平移等知识，（3）中求出点和点的坐标，利用数形结合思想得出结论是解题关键．
3、 (1)
(2)18
(3)1或5
【解析】
【分析】
（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；
（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；
（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．
(1)
解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），
由题意知，该函数图象经过点，，，得
，
解得，
∴二次函数的表达式为.
(2)
解：∵
当y=0时，
解得：x1=1，x2=5
∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；
当x=0时，y=-5，
∴点C坐标为(0，-5)；
把化为y=-(x-3)2+4
∴点P坐标为(3，4)；
由题意可画图如下：

∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC
=
＝18，
故答案是：18；
(3)
由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．
故：m=1或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．
4、 (1)
(2)最大值为2
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入得方程组，求解即可；
（2）分别求出点B，C，D的坐标，运用待定系数法求出BC解析式，设，则，，根据三角形面积公式可得二次函数关系式，配方求解即可；
（3）分两种情况：①若AD是平行四边形的对角线，②若AD是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
(1)
将，代入
，
解这个方程组得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)
在中，当时，，
∴，
∵点D为线段BC的中点，且，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
将，代入得，

解得，
∴直线BC的解析式为，
过点作轴交于点，

设，则


，
当时，有最大值为2
(3)
满足条件的点的坐标为：，，
由可得对称轴为：直线，
设，又，
①若AD是平行四边形的对角线，
当MN与AD互相平分时，四边形ANDM是平行四边形，

即MN经过AD的中点（），即（0，-1）
∴
∴n=-1，
∴，
②若AD是平行四边形的边，
Ⅰ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形ANMD是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1-4=-3，
∴
∴点N的坐标为；
Ⅱ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形AMND是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1+4=5，
∴
∴点N的坐标为；
综上所述，点M的坐标为，，．
【点睛】
本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
5、 (1)见解析
(2)①2；②2．
【解析】
【分析】
（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；
（2）①设出P点坐标，然后令c=t²，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s²，c=t²，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．
(1)
解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，
∴x1=-x2，即x1+x2=0，
∵x1+x2=-，
∴-=0，
∵a＜0，
∴b=0；
(2)
解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，
解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，
∴A(-t，0)，B(t，0)，
设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，
设直线PB的解析式为y=kx+m，
∴，解得：，
∴直线PB的解析式为y=x+，
∵AQ∥BP，
设直线AQ的解析式为y=x+n，
把A(-t，0)代入得：n=
∴直线AQ的解析式为y=，
联立y=和y=-x2+ t2得：，
整理得：，
解得x1=-t，x2=p+2t，
∴点Q的横坐标为p+2t，
∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；
②令c=t2，a=-s²，抛物线的解析式为y=-s²x2+t2，
解方程-s²x2+t2=0，得：x1=，x2=-，
∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，
设点P的坐标为(p，-s²p2+ t2)，
同理求得直线PB的解析式为y=x+，
直线AQ的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点E的坐标为(0，)，
同理求得直线AP的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点D的坐标为(0，)，
∴OD=，OE=，OC=，
∴．
．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．