高考数学(文数)二轮专题复习小题提速练习卷09（教师版）

小题提速练(九)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知复数z＝，i为虚数单位，则z＝(　　)

A．－4i－3　　　　　　　 B．－4i＋3

C．4i＋3  D．4i－3

解析：选B.z＝＝＝－4i＋3.

2．命题“∃x∈R，(1－3x)2－6≥0”的否定是(　　)

A．“∃x∈R，(1－3x)2－6≤0”

B．“∃x∈R，(1－3x)2－6＜0”

C．“∀x∈R，(1－3x)2－6≤0”

D．“∀x∈R，(1－3x)2－6＜0”

解析：选D.由于特称命题的否定是全称命题，因此命题“∃x∈R，(1－3x)2－6≥0”的否定是“∀x∈R，(1－3x)2－6＜0”．故选D.

3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2≤4}，Z为整数集，则下列结论错误的是(　　)

A．A⊆B  B．A∩Z＝{－1，0，1，2}

C．A⊆Z  D．B∩Z＝{－2，－1，0，1，2}

解析：选C.由题意得，集合B＝{x|－2≤x≤2}，所以B∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，又集合A＝{x|－1≤x≤2}，所以A⊆B，A∩Z＝{－1，0，1，2}，显然A⃘Z，故C选项错误，选C.

4．如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE，CG，现将一把芝麻随机撒在该图形中，则芝麻落在阴影部分的概率是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.设图中阴影部分的面积是S，则S＝S正方形ABFG＋S△BCE－S△AGC，∵S正方形ABFG＝a2，S△BCE＝×2a×2a＝2a2，S△AGC＝(a＋2a)×a＝a2，∴S＝a2，又整体区域的面积为5a2，∴芝麻落在阴影部分的概率是＝，故选A.

5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)，以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　)

A.－y2＝1  B．x2－＝1

C.－＝1  D．－＝1

解析：选B.由题意得，＝tan 60°＝，因为双曲线C过点(，)，所以－＝1，联立，得解得所以双曲线C的标准方程是x2－＝1.故选B.

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)

A．24＋π  B．24＋(－1)π

C．20＋(－1)π  D．20＋π

解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆锥后所得的几何体，正方体的侧面积为4×2×2＝16，正方体的一个底面面积为2×2＝4，一个底面截去一个圆后剩余部分的面积为4－π，圆锥的底面半径为1，高为1，母线长为＝，侧面积为π×1×＝π，所以该几何体的表面积为16＋4＋4－π＋π＝24＋(－1)π，故选B.

7．已知函数f(x)＝log(x2－2x－3)，则下列关系正确的是(　　)

A．f(－)＜f(－)  B．f()＜f()

C．f(－)＞f(－)  D．f(log328)＜f(3log34)

解析：选A.由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞3.y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．∵－＜－＜－1，∴f(－)＜f(－)，选项A正确，选项C错误；∵3＜＜，

∴f()＞f()，选项B错误；∵3＜log328＜3log34，

∴f(log328)＞f(3log34)，选项D错误．故选A.

8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1、CBB1C1都是矩形，AB＝BC＝2，BB1＝4，∠ABC＝60°，D为BC的中点，则四面体ADC1A1的体积为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B.由侧面ABB1A1、CBB1C1都是矩形，得BB1⊥AB，BB1⊥BC，又AB、BC是底面ABC内的两条相交直线，所以BB1⊥平面ABC，则三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，又AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC是边长为2的等边三角形，则点B到平面AA1C1的距离等于正三角形ABC的高，又D为BC的中点，则点D到平面AA1C1的距离为，则四面体ADC1A1的体积VD­AA1C1＝××2×4×＝.

9．已知函数f(x)＝ln(－2x)－，则f(2 020)＋f(－2 020)＝(　　)

A．0  B．2

C．－2  D．－3

解析：选D.令g(x)＝ln(－2x)，h(x)＝－，则f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)＝ln(－2x)＝ln，g(x)＋g(－x)＝0，x∈R.又h(x)＝－＝－＝－2＋，所以h(x)＋h(－x)＝－2＋－2＋＝－4＋＋＝－3，所以f(2 020)＋f(－2 020)＝g(2 020)＋h(2 020)＋g(－2 020)＋h(－2 020)＝－3.

10．在Rt△ABC中，AC⊥BC，AB＝2，P为△ABC所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值是(　　)

A．－1  B．－

C．0  D．1

解析：选B.解法一：设O是线段AB的中点，M是线段CO的中点，则＋＝2，则(＋)·＝2·＝2·[(＋)2－(－)2]＝22－2，又OC＝AB＝1，则(＋)·＝22－2＝22－≥－，当且仅当P是斜边中线OC的中点时取等号．

解法二：由AC⊥BC，AB＝2知，可以以AB边所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，可设C(cos θ，sin θ)，P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，＝(cos θ－x，sin θ－y)，

∴(＋)·＝(－2x，－2y)·(cos θ－x，sin θ－y)＝2x2－2xcos θ＋2y2－2ysin θ＝2＋2－(cos2θ＋sin2θ)＝2＋2－≥－，当且仅当x＝cos θ，y＝sin θ，即P为OC的中点时取等号．

11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若·＝0，且∠F1AF2＝150°，则e2＝(　　)

A．7－2  B．7－

C．7＋  D．7＋2

解析：选A.因为·＝0，所以AB⊥BF2.设|BF2|＝m，则|BF1|＝m＋2a.因为∠F1AF2＝150°，所以∠BAF2＝30°，所以|AF2|＝2m，|AB|＝m，所以|AF1|＝2m－2a，则|AB|＝|BF1|－|AF1|＝m＋2a－2m＋2a＝4a－m＝m，即m＝＝2(－1)a.所以|BF1|＝m＋2a＝2a.在△BF1F2中，有|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，所以4c2＝12a2＋4(－1)2a2，所以e2＝＝3＋(－1)2＝7－2.

12．已知数列{an}满足an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，且a1＝1，a2＝4，其前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2n＋m·2n≥0恒成立，则m的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C.由an＋2＝3an＋1－2an得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3×1，将以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3×1＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足)．∴Sn＝3(1＋2＋22＋…＋2n－1)－2n＝3·－2n＝3·2n－2n－3，由Sn＋2n＋m·2n≥0，得3·2n－2n－3＋2n＋m·2n≥0，∴3·2n－3＋m·2n≥0，即m≥－3＋，∵≤，∴m≥－3＋＝－，故m的取值范围是.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋7)＝f(5－x)，且当x∈[0，6]时，f(x)＝log6(x＋1)，若f(a)＝1(a∈[0，2 020])，则a的最大值是________．

解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x－5)＝f(5－x)．

又f(x＋7)＝f(5－x)，所以f(x＋7)＝f(x－5)，即f(x＋12)＝f(x)，所以f(x)是周期为12的周期函数．因为当x∈[0，6]时，f(x)＝log6(x＋1)，所以f(5)＝1，所以f(－5)＝1.从而f(2 009)＝f(5＋12×167)＝f(5)＝1，f(2 011)＝f(－5＋12×168)＝f(－5)＝1.所以满足f(a)＝1(a∈[0，2 020])的a的最大值是2 011.

答案：2 011

14．已知离心率为的椭圆C：＋＝1(0＜b＜)与y轴的正半轴交于点A，P为椭圆C上任意一点，则|PA|的最大值为________．

解析：由已知得a＝，离心率e＝＝＝，则c＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1，A(0，1)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得|PA|＝＝＝ ，由于|y|≤1，因而y＝－1时|PA|取得最大值2.

答案：2

15．将函数f(x)＝sin(x＋φ)cos(x＋φ)－cos2(x＋φ)(φ＞0)的图象向右平移个单位长度，所得函数图象刚好经过坐标原点，则φ的最小值为________．

解析：f(x)＝sin(x＋φ)cos(x＋φ)－cos2(x＋φ)＝

sin(2x＋2φ)－＝sin－，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin－

＝sin－的图象．由题意，函数y＝sin－的图象经过坐标原点，所以0＝sin－，则sin＝，得2φ－＝2kπ＋(k∈Z)或2φ－＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)或φ＝kπ＋(k∈Z)．又φ＞0，故φ的最小值为.

答案：

16．某酒厂生产浓香型、老字号两种白酒，若每吨浓香型白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨老字号白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨．销售每吨浓香型白酒可获得利润5万元，销售每吨老字号白酒可获得利润4万元．该酒厂在一个生产周期内乙醇的总量不能超过3.4吨，水总量不能超过3.6吨．那么该酒厂在一个生产周期内可获得的最大利润是________万元．

解析：设该酒厂在一个生产周期内生产浓香型白酒x吨，老字号白酒y吨，该酒厂在一个生产周期内可获得的利润为z万元，则z＝5x＋4y，且即作出不等式组

表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线5x＋4y＝0，平移该直线，易知在点P处直线的纵截距最大，即在点P处z取得最大值，联立得解得所以P(3，4)，所以zmax＝5×3＋4×4＝31(万元)，故该酒厂在一个生产周期内可获得的最大利润为31万元．

答案：31