专题06 一元一次方程（学案）

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2021年中考数学一轮专题复习
学案06 一元一次方程

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
一元一次方程相关概念及解法
了解方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程．
考查方程的解、解方程、列方程等基础知识．
常以选择题、填空题的形式．
2
解一元一次方程
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
以列方程解应用题的形式考查解方程的基本思想和列方程解应用题的能力．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．

思维导图



知识点1：方程的有关概念

知识点梳理


1．方程、方程的解、解方程：
（1）含有未知数的 等式 叫做方程．
（2）使方程左右两边的值相等的 未知数的值 ，叫做方程的解．
（3）求 方程解 的过程叫做解方程．
注意：方程的解与解方程不同．
2．一元一次方程：
在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．
3.一元一次方程的一般形式： ax+b=0(a，b为常数，且a≠0) .　
典型例题

【例1】（2019•呼和浩特14/25）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为　 　．
【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x＝2或x＝﹣2．
【例2】已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是(　　)
A．－5　　　B．5　　　C．7　　　D．2
【分析】直接利用方程的解的定义可得出关于a的方程：6－a＝1，所以a＝5.
【答案】B
知识点2：一元一次方程的解法

知识点梳理


1.等式的基本性质：
（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果a=b，那么a±c= b±c．
（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
如果a=b，那么ac= bc；如果a=b(c≠0)，那么．
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式．如果a=b，那么b= a．②传递性：如果a=b，且b=c，那么a= c．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换．
2．解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
典型例题

【例3】（2020•重庆A卷7/26）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．3(x+1)=1-2x B．2(x+1)=1-3x C．2(x+1)=6-3x D．3(x+1)=6-2x
【考点】解一元一次方程
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6-2x，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
【例4】解方程：（1）20%+50%x=7.2；（2）．
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）移项，得：50%x=7.2–20%，
合并同类项，得：0.5x=7，
将x的系数化为1，解得：x=14．
（2）合并同类项，得：，
将x的系数化为1，解得：x=4．
知识点3：一元一次方程的实际应用

知识点梳理


1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：
审题→找出 相等关系 →列出一元一次方程→解一元一次方程→写出答案．

2.关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（2）题中各个量的单位．
典型例题

【例5】（2020•山西17/23）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

【考点】一元一次方程的应用
【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×(1+50%)x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．
【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为80%×(1+50%)x元，
根据题意，得80%×(1+50%)x-128=568，
解得x=580．
答：该电饭煲的进价为580元．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
【例6】（2018·呼和浩特13/25）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设小华购买了x个笔袋，根据原单价×购买数量（x﹣1）﹣打九折后的单价×购买数量（x）＝节省的钱数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小华购买的数量，再根据总价＝单价×0.9×购买数量，即可求出结论．
【解答】解：设小华购买了x个笔袋，
根据题意得：18（x﹣1）﹣18×0.9x＝36，
解得：x＝30，
∴18×0.9x＝18×0.9×30＝486．
答：小华结账时实际付款486元．
故答案为：486．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
知识点4：常见的几种应用题类型

知识点梳理


1.行程问题：
基本量间的关系：路程=速度×时间
相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程
追及问题：被追的路程=甲走的路程-乙走的路程（若甲为快者）
2.工程问题：
基本量间的关系：工作效率=
其他常用关系量：①甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；②通常把工作总量看作“1”.
典型例题

【例7】（2020•吉林10/26）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 ．
【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：(240-150)x=150×12．
故答案为：(240-150)x=150×12．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例8】（2019·安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．
巩固训练

1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．
2. 已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是(　　)
A．2　　　B．－2　　　C.　　　D．－
3.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式=1的x的值为　　　　　　．
4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）．
5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是　　

A． B．
C． D．
6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（　　）
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了　　
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________________.
9.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)
10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．
（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元
线上销售额（元
线下销售额（元
2019年4月份



2020年4月份


　　
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快，两人同时从起点同向出发，经过两人首次相遇，此时乙还需跑才能跑完第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
13.为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
14.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 m3．
巩固训练解析

1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．
【考点】一元一次方程的解．
【解答】解：根据题意，写出一元一次方程的解为x＝2即可，故方程可以是：2x-2=2.
注意答案不唯一．
2. 已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是(　　)
A．2　　　B．－2　　　C.　　　D．－
【考点】一元一次方程的解．
【解答】解：把x＝m代入原方程，
得：4m－3m＝2，
解得：m=2，
故答案为：A．
3.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式=1的x的值为　　　　　　．
【考点】解一元一次方程．
【分析】根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
去分母得：3x﹣4x﹣4=6，
移项合并得：﹣x=10，
解得：x=﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）．
【分析】（1）去括号求解即可；
（2）通分再移项合并同类项即可．
【解答】解：（1）5(x-1)-1=2x
5x-6=2x
即3x=6
x=2
（2）
15x+5x+10=15-3x+18
即23x=23
x=1
【点评】掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是　　

A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（　　）
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本＝利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．
【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，
解得：x＝120，y＝200，
∴150+150﹣120﹣200＝﹣20（元）．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了　　
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，
依题意，得：，
解得：．
，
，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________________.
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于或等于0，列出不等式x-2≥0，解不等式即可.
【答案】50-8x=38
9.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)
【分析】根据提速前与提速后连云港至徐州的距离不变，列出方程，求解即可.
【答案】解：设提速后的火车速度是x km/h，根据题意，
得2.3(x－260)＝0.6x，
解得x＝352.
答：提速后的火车速度是352 km/h.
10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．
（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元
线上销售额（元
线下销售额（元
2019年4月份



2020年4月份


　　
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【考点】列代数式；一元一次方程的应用
【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含，的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；
（2）根据2020年4月份的销售总额线上销售额线下销售额，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值（用含的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长，
该超市2020年4月份线下销售额为元．
故答案为：．
（2）依题意，得：，
解得：，
．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快，两人同时从起点同向出发，经过两人首次相遇，此时乙还需跑才能跑完第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【分析】（1）可设乙的速度是每分钟米，则甲的速度是每分钟米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差环形场地的路程，列出方程即可求解；
（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程乙路程环形场地的路程，列出算式求解即可．
【答案】解：（1）设乙的速度是每分钟米，则甲的速度是每分钟米，依题意有：
，
解得，
．
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）


（米，
（米．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【答案】解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，
由题意，得，
解得 ，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
13.为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
【解答】解法一：设九年级一班胜的场数是场，负的场数是场．
依题意，得 解得
答：九年级一班胜的场数是5场，负的场数是3场．
解法二：设九年级一班胜的场数是场，负的场数是场．
据题意，得2+=13，解得=5，负的场数=8-5=3（场）.
答：九年级一班胜的场数是5场，负的场数是3场．
【考点】一元一次方程的应用或二元一次方程组的应用.
【分析】本题重要的基础是学生理解题意的能力，关键是设出胜的场数且以总分数做为等量关系列方程（组）求解.
14.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 m3．
【考点】一元一次方程的应用．.
【分析】20立方米时交40元，题中已知五月份交水费64元，即已经超过20立方米，所以在64元水费中有两部分构成，列方程即可解答．
【解答】解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，
故20×2+（x﹣20）×3=64，
故x=28．
故答案是：28．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．