2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与四边形综合问题（五）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与四边形综合问题（五），共17页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 与菱形 ADEF 在第一象限，点 F 在 AB 上，且边 OA，AD 在 x 轴上．若反比例函数 y=kxx>0,k≠0 的图象分别过边 OC，AF 的中点 M 和 N，已知菱形 OABC 的边长为 4，且 ∠AOC=60∘．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求 AD 的长．

2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+b 的图象经过点 A−2,0，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 Ba,4．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设 M 是直线 AB 上一点，过 M 作 MN∥x 轴，交反比例函数 y=kxx>0 的图象于点 N，若以 A，O，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的横坐标．

3. 已知矩形 OABC 的顶点 Bm,2 在正比例函数 y=12x 的图象上，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，反比例函数的图象与 BC 边相交于点 K，与 AB 边交于 N，且 BK=3CK，求反比例函数解析式及点 N 的坐标．

4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，设 BC 边的长为 xcm，BC 边上的高线 AE 长为 ycm，已知平行四边形 ABCD 的面积等于 24 cm2．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）求当 3
5. 【阅读理解】
对于任意正实数 a，b，
∵a−b2≥0，
∴a+b−2ab≥0，
∴a+b≥2ab，只有当 a=b 时，等号成立．
【数学认识】
在 a+b≥2ab（a，b 均为正实数）中，若 ab 为定值 k，则 a+b≥2k，只有当 a=b 时，a+b 有最小值 2k．
【解决问题】
（1）若 x>0 时，当 x= 时，x+1x 有最小值为 ；
（2）如图，已知点 A 在反比例函数 y=3xx>0 的图象上，点 B 在反比例函数 y=−1xx>0 的图象上，AB∥y 轴，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，过点 B 作 BC⊥y 轴于点 C．求四边形 ABCD 周长的最小值．

6. 如图①，直线 y=−32x+b 与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于 A2,6，Ba,3 两点，BC∥x 轴（点 C 在点 B 的右侧），且 BC=m，连接 OC，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，交反比例函数图象于点 E．
（1）求 b 的值和反比例函数的解析式；
（2）填空：不等式 −32x+b>kx 的解为 ；
（3）当 OC 平分 ∠BOD 时，求 CEED 的值；
（4）如图②，取 BC 中点 F，连接 DF，AF，BD，当四边形 ABDF 为平行四边形时，求点 F 的坐标．

7. 综合与探究．
如图 1，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴上，反比例函数 y=−4xx<0 的图象经过点 A，并与线段 AB 交于点 E，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 D，AD 交 y 轴于点 G．已知 A−1,a，B−4,0．
（1）求点 D 的坐标及反比例函数 y=kxx>0 的表达式；
（2）直接写出点 E 的坐标；
（3）如图 2，点 P 是 y 轴正半轴上的一个动点，过点 P 作 y 轴的垂线，分别交反比例函数 y=−4xx<0 与反比例函数 y=kxx>0 的图象于点 M，N，设点 P 的坐标为 0,m．
①当 MN=OB 时，求 m 的值；
②在点 P 运动过程中，是否存在某一时刻，使 AE=AP?若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

8. 如图①，已知点 A−1,0，B0,−2，平行四边形 ABCD 的边 AD 与 y 轴交于点 E，且 E 为 AD 的中点，双曲线 y=kx 经过 C，D 两点．
（1）求 k 的值；
（2）点 P 在双曲线 y=kx 上，点 Q 在 y 轴上，若以点 A，B，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点 Q 的坐标；
（3）以线段 AB 为对角线作正方形 AFBH（如图③），点 T 是边 AF 上一动点，M 是 HT 的中点，MN⊥HT，交 AB 于 N，当点 T 在 AF 上运动时，MNHT 的值是否发生改变?若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

9. 综合与探究．
如图 1，平面直角坐标系中，直线 l:y=2x+4 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，B．双曲线 y=kxx>0 与直线 l 交于点 En,6．
（1）求 k 的值．
（2）在图 1 中以线段 AB 为边作矩形 ABCD，使顶点 C 在第一象限，顶点 D 在 y 轴负半轴上．线段 CD 交 x 轴于点 G．直接写出点 A，D，G 的坐标．
（3）如图 2，在（2）题的条件下，已知点 P 是双曲线 y=kxx>0 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的平行线分别交线段 AB，CD 于点 M，N．
请从下列（I）（II）两组题中任选一组题作答．我选择 组题．
（I）①当四边形 AGNM 的面积为 5 时，求点 P 的坐标；
②在①的条件下，连接 PB，PD．坐标平面内是否存在点 Q（不与点 P 重合），使以 B，D，Q 为顶点的三角形与 △PBD 全等?若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
（II）①当四边形 AGNM 成为菱形时，求点 P 的坐标；
②在①的条件下，连接 PB，PD．坐标平面内是否存在点 Q（不与点 P 重合），使以 B，D，Q 为顶点的三角形与 △PBD 全等?若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．

10. 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为 0,6，点 C 的坐标为 4,0，点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 出发，同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 3 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 与点 B 重合时，点 P，Q 同时停止运动．设运动时间为 t 秒．
（1）当 t=1 时，请直接写出 △BPQ 的面积为 ；
（2）当 △BPQ 与 △COQ 相似时，求 t 的值；
（3）当反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 P，Q 两点时，
①求 k 的值；
②点 M 在 x 轴上，点 N 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，若以点 M，N，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的 M 的坐标．
答案
第一部分
1. （1） 过 M 点作 MH⊥x 轴，交于 H 点，
如图所示：
∵ 菱形 OABC 的边长为 4，M 为 OC 的中点．
∴OM=2，
在 Rt△MOH 中，∠MOH=60∘，sin60∘=MHOM，
∴MH=3，OH=1．
∴M1,3，
∴k=3．
∴ 反比例函数的解析式为：y=3x．
（2） 设 AD=2a，过 N 作 NG⊥x 轴，交于 G 点，
如图所示：
由题意可知：NA=a，NG=32a，AG=12a．
∴N4+12a,32a，
∴4+12a×32a=3，
化简得 a2+8a−4=0，
解得：a=±25−4．
∵a>0，
∴a=25−4，
∴AD=45−8．
2. （1） 将 A−2,0 代入 y=x+b，得：0=−2+b，解得：b=2，
∴ 一次函数的表达式为 y=x+2；
当 y=4 时，a+2=4，解得：a=2，
∴ 点 B 的坐标为 2,4．
将 B2,4 代入 y=kx，得：4=k2，解得：k=8，
∴ 反比例函数的表达式为 y=8x．
（2） ∵MN∥AO，以 A，O，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，点 A 的坐标为 −2,0，
∴MN=2．
设点 M 的坐标为 m,m+2，则点 N 的坐标为 m−2,m+2 或 m+2,m+2．
∵ 点 N 在反比例函数 y=8xx>0 的图象上，
∴m−2m+2=8 或 m+2m+2=8，
解得：m1=23，m2=−23（舍去），m3=22−2，m4=−22−2（舍去），
∴ 点 M 的横坐标为 23 或 22−2．
3. 将 m,2 代入 y=12x，得 2=12m，解得 m=4，
从而求得点 B 的坐标为 B4,2．
又因为 BK=3CK，
所以 CK=1，BK=3，
从而求得点 K 的坐标为 K1,2，
所以反比例函数的解析式为 y=2x．
设点 N 的坐标为 N4,y，将 N4,y 代入 y=2x，解得 y=24=12，
所以点 N 的坐标为 N4,12．
4. （1） ∵BC 边的长为 xcm，BC 边上的高线 AE 长为 ycm，
已知平行四边形 ABCD 的面积等于 24 cm2．
∴ 根据平行四边形的面积计算方法得：xy=24，
∴y=24xx>0．
（2） 当 y=3 时 x=8，当 y=6 时 x=4，
∴ 当 35. （1） 1；2
【解析】由阅读得：在 a+b≥2ab（a，b 均为正实数）中，
若 ab 为定值 k，则 a+b≥2k，
只有当 a=b 时，a+b 有最小值 2k．
∵x×1x=1（定值），
∴ 当 x=1x 时，即 x=±1，
又 ∵x>0，
∴x=1 时，x+1x 的最小值为 2．
（2） 设 Aa,3a，则 Ba,−1a
∴ 四边形 ABCD 周长 =2a+4a≥2×2a⋅4a=4×2=8，
∴ 四边形 ABCD 周长最小值为 8．
6. （1） 将 A2,6 代入 y=−32x+b 得，−3+b=6，解得：b=9，
将 A2,6 代入 y=kx 得，k=12，
∴ 反比例函数的解析式为：y=12x．
（2） 2【解析】当 y=3 时，3=12x，解得：x=4，
∴B4,3，
由图象可知不等式 −32x+b>kx 的解为：2 （3） 将 Ba,3 代入 y=12x 得，12a=3，解得：a=4，
∵OC 平分 ∠BOD，
∴∠BOC=∠COD，
∵BC∥x 轴，
∴∠BCO=∠COD，
∴∠BOC=∠BCO，
∴OB=BC，
∵B4,3，
∴OB=BC=5，
∴C9,3，
∴E9,43，D9,0，
∴DE=43，CE=3−43=53，
∴CEED=5343=54．
（4） 作 AH⊥BC 于 H，则 H2,3，
∴AH=3，BH=2，
∵ 四边形 ABDF 为平行四边形，
∴AB∥DF，AB=DF，
∴∠CFD=∠CBQ，
∵∠AHB=∠DCF=90∘，∠ABH=∠CBQ，
∴∠CFD=∠ABH，
∴△ABH≌△DFCAAS，
∴CF=BH=2，
∵F 是 BC 中点，
∴BF=CF=12BC=2，
∵B4,3，
∴F6,3．
7. （1） 过 A 作 AQ⊥x 轴于 Q．
∵A 在反比例函数 y=−4xx<0 上，
∴a=−4−1=4，
∴A 点坐标为 −1,4，
又 ∵B−4,0，
∴BQ=3，
∴AB=32+42=5，
又 ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AB=AD=5，
∴D4,4，
又 ∵D 在反比例函数 y=kxx>0 上，
∴k=4×4=16，
∴ 反比例函数的表达式为 y=16xx>0．
（2） E−3,43．
【解析】设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
代入 A，B 坐标得：−4k+b=0,−k+b=4, 解得 k=43,b=163,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=43x+163，
联立反比例函数 y=−4x 得 y=43x+163,y=−4x,
解得：x1=−3,y1=43, x2=−1,y2=4（舍去）．
∴E 点坐标为 −3,43．
（3） ① ∵B−4,0，
∴OB=4，
∵MN∥x 轴 ,P0,m，
∴M−4m,m，N16m,m，
∴MN=16m−−4m=20m，
∵MN=OB，
∴MN=20m=4，
∴m=5．
②存在，P 点坐标为 0,4+913 或 0,4−913．
【解析】② ∵A−1,4，E−3,43，
∴AE=−1+32+4−432=103，
∴AP=AE=103，
∵G0,4，
∴AG=1，
∴PG=m−4=AP2−AG2=1032−12=913，
∴m=4+913 或 m=4−913，
∴ 存在某一时刻，使 AE=AP，P 点坐标为 0,4+913 或 0,4−913．
8. （1） ∵A−1,0，B0,−2，E 为 AD 中点，
∴xD=1，
设 D1,t，
又 ∵DC∥AB，
∴C2,t−2，
∴t=2t−4，
∴t=4，
∴k=4．
（2） Q10,6，Q20,−6，Q30,2．
【解析】∵ 由（1）知 k=4，
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x，
∵ 点 P 在双曲线 4x 上，点 Q 在 y 轴上，
∴ 设 Q0,y，Px,4x，
①当 AB 为边时：如图 1，若 ABPQ 为平行四边形，
则 −1+x2=0，解得 x=1，此时 P11,4，Q10,6；
如图 2，若 ABQP 为平行四边形，
则 −12=x2，解得 x=−1，此时 P2−1,−4，Q20,−6；
②如图 3，当 AB 为对角线时，
AP=BQ，且 AP∥BQ；
∴−12=x2，解得 x=−1，
∴P3−1,−4，Q30,2．
故 P11,4，Q10,6；P2−1,−4，Q20,−6；P3−1,−4，Q30,2．
（3） 结论：MNHT 的值不发生改变，
理由：如图 4，连 NH，NT，NF，
∵MN 是线段 HT 的垂直平分线，
∴NT=NH，
∵ 四边形 AFBH 是正方形，
∴∠ABF=∠ABH，
在 △BFN 与 △BHN 中，
BF=BH,∠ABF=∠ABH,BN=BN,
∴△BFN≌△BHNSAS，
∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
四边形 ATNH 中，∠ATN+∠NTF=180∘，而 ∠NTF=∠NFT=∠AHN，
∴∠ATN+∠AHN=180∘，
∴ 四边形 ATNH 内角和为 360∘，
∴∠TNH=360∘−180∘−90∘=90∘．
∴MN=12HT，
∴MNHT=12．
9. （1） 将 En,6 代入 y=2x+4 得：6=2n+4，
∴n=1．
∴E 点的坐标为 1,6，
将 E1,6 代入 y=kx 得：6=k1，
∴k=6．
（2） A−2,0，D0,−1，G12,0．
【解析】如图，易证 ∠BAF=∠OAD=∠ODG=α，
令 x=0，则 y=4，
∴B0,4．
令 y=0，则 x=−2，
∴A−2,0．
∵tanα=BFAF=12，
∴tanα=ODOA=OD2=12，
∴OD=1，
∴D0,−1．
∵tanα=DGAD=DH5=12，
∴DG=52，
∴OG=54−1=12，
∴G12,0．
综上，A−2,0，D0,−1，G12,0．
（3） （I）①设 lMN:y=m，
∵MN∥AG，AB∥DC，
∴ 四边形 AGNM 为平行四边形
由（2）可知：AG=2+12=52，
∴S四边形AGNM=AG⋅yP=52m=5，
∴m=2．
将 yP=2 代入 y=6x 中得：xp=3，
∴P3,2．
② Q3,1；Q2−3,2；Q3−3,1．
【解析】（I）②如图构造以 BD 为公共边的全等三角形即可．
Q1 是 P 关于 y=32 的对称点，Q3,1，
Q2 是 P 关于 y 轴的对称点，Q2−3,2，
Q3 是 Q1 关于 y 轴的对称点，Q3−3,1．
（II）①过点 N 作 NK⊥x 轴于点 K，
可得：△ADG≌△NKG，
∴NK=AD=5，
∴m=5．
令 y=5，代入 y=6x，x=65=655，
∴P655,5．
②如图构造以 BD 为公共边的全等三角形即可．
Q1 是 P 关于 y=5 的对称点，Q1655,3−5，
Q2 是 P 关于 y 轴对称点，Q2−655,5，
Q3 是 Q1 关于 y 的对称点，Q3−655,3−5．
10. （1） 3
【解析】当 t=1 时，点 P 的坐标为 2,6，点 Q 的坐标为 4,3，
∴BP=2，BQ=3，
∴S△BPQ=12BP⋅BQ=12×2×3=3．
（2） 当运动时间为 t 秒时，BP=4−2t，BQ=3t，CQ=6−3t．
∵△BPQ 与 △COQ 相似，∠B=∠C=90∘，
∴ 分两种情况考虑：
①当 △BPQ∽△COQ 时，BPCO=BQCQ，即 4−2t4=3t6−3t，
解得：t1=3−5，t2=3+5，
经检验，t1=3−5，t2=3+5 是原分式方程的解，t1=3−5 符合题意，
∴t=3−5．
②当 △BPQ∽△CQO 时，BPCQ=BQCO，即 4−2t6−3t=3t4，
解得：t1=89，t2=2，
经检验，t1=89 是原分式方程的解，且符合题意，
∴t=89；
综上所述：当 △BPQ 与 △COQ 相似时，t 的值为 3−5 或 89．
（3） ①依题意，得：点 P 的坐标为 2t,6，点 Q 的坐标为 4,6−3t．
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 P，Q 两点，
∴6=62t,6−3t=64,
解得：k=12,t=1,
∴k 的值为 12．
② 143,0．
【解析】②由①可知：点 P 的坐标为 2,6，点 Q 的坐标为 4,3．
设点 M 的坐标为 m,0，点 N 的坐标为 n,12nn>0．
分两种情况考虑：
（i）当 PQ 为边时，12n−0=6−3，
∴n=4，
∴ 点 N 的坐标为 4,3，此时点 N，Q 重合，不符合题意，
∴ 此种情况不存在；
（ii）当 PQ 为对角线时，0+12n=6+3，
∴n=43，
∴ 点 N 的坐标为 43,9，点 M 的坐标为 143,0，
综上所述：当以点 M，N，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，点 M 的坐标为 143,0．