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2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（三）
展开这是一份2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（三），共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题（共17小题；共221分）
1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=kx+6 与函数 y2=5xx>0 的图象的两个交点分别为 Aa,1，B．
（1）求 k，a 的值及点 B 的坐标；
（2）过点 Pn,0 作 x 轴的垂线，与直线 y1=kx+6 和函数 y2=5xx>0 的图象分别交于点 M，N，当点 M 在点 N 上方时，写出 n 的取值范围．
2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=−4x+2 的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于点 B−1,m，Cn,−4．过点 A 作 AD⊥y轴 交反比例函数 y=kxk≠0 的图象于点 D，连接 BD．
（1）求该反比例函数的表达式和点 C 的坐标；
（2）求 △ABD 的面积；
（3）请直接写出不等式 kx<−4x+2 的解集．
3. 如图，已知一次函数 y1=k1x+b 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A−2,0，B 两点，与反比例函数 y2=k2x 的图象分别交于 C，D2,−3 两点．
（1）求一次函数 y1=k1x+b 与反比例函数 y2=k2x 的解析式．
（2）求交点 C 的坐标．
（3）直接写出当 y1>y2 时，自变量 x 的取值范围．
（4）若点 Q 在 x 轴上，且 S△ACQ=13S△COD，求点 Q 的坐标．
（5）若 P 是 y 轴上一点，且 △DOP 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标．
（6）在 y 轴上是否存在一点 H，使 HA+HC 的值最小?若存在，请求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，直线 AB 与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为 2,4，△AOB 的面积为 6．
（1）反比例函数的表达式；
（2）求直线 AB 的函数表达式；
（3）若动点 P 在 y 轴上运动，当 ∣PA−PB∣ 最大时，求 P 点坐标．
5. 如图，已知直角坐标平面内的两点 A3,2，点 B6,0，过点 B 作 y 轴的平行线交直线 OA 于点 C．
（1）求直线 OA 所对应的函数解析式；
（2）若某一个反比例函数的图象经过点 A，且交 BC 于点 D，连接 AD，求 △ACD 的面积．
6. 如图，反比例函数 y=−8x 的图象与一次函数 y=kx+5（k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A−2,b，B 两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线 AB 向下平移 mm>0 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求 m 的值．
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=kxx>0 的图象经过边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 B，直线 y=mx+m+1 与 y=kxx>0 的图象交于点 D（点 D 在直线 BC 的上方），与 x 轴交于点 E．
（1）求 k 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记 y=kxx>0 的图象在点 B，D 之间的部分与线段 AB，AE，DE 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 m=12 时，直接写出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围．
8. 已知一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=kxk≠0 在第一象限内的图象交于点 A1,m．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 B 在反比例函数的图象上，且点 B 的横坐标为 2．若在 x 轴上存在一点 M，使 MA+MB 的值最小，求点 M 的坐标．
9. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象 l 与函数 y=kxk>0,x>0 的图象（记为 Γ）交于点 A，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，且 AB=1，点 C 在线段 OB 上（不含端点），且 OC=t，过点 C 作直线 l1∥x 轴，交 l 于点 D，交图象 Γ 于点 E．
（1）求 k 的值，并且用含 t 的式子表示点 D 的横坐标；
（2）连接 OE，BE，AE，记 △OBE，△ADE 的面积分别为 S1，S2，设 U=S1−S2，求 U 的最大值．
10. 如图，反比例函数 y=kxk≠0 的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于 A1,a，B 两点，点 C 在第四象限，CA∥y 轴，∠ABC=90∘．
（1）求 k 的值及点 B 的坐标；
（2）求 tanC 的值．
11. 如图，直线 y=−23x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，反比例函数 y1=kxx>0 的图象经过线段 AB 的中点 C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线 y=−23x+4 向右平移 4 个单位长度后得到直线 y2=ax+b，直线 y2 交 x 轴于点 D，交反比例函数 y1=kxx>0 的图象于点 E，F，连接 CE，CF，求 △CEF 的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式 y1
12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+k 与双曲线 y=4xx>0 交于点 A1,a．
（1）求 a，k 的值；
（2）已知直线 l 过点 D2,0 且平行于直线 y=kx+k，点 Pm,nm>3 是直线 l 上一动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平行线，交双曲线 y=4xx>0 于点 M，N，双曲线在点 M，N 之间的部分与线段 PM，PN 所围成的区域（不含边界）记为 W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当 m=4 时，直接写出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内的整点个数不超过 8，结合图象，求 m 的取值范围．
13. 如图，直线 y1=k1x+b 与双曲线 y2=k28 在第一象限内交于 A，B 两点，已知 A1,m，B2,1．
（1）求 k2 的值及直线 AB 的解析式；
（2）设点 P 是线段 AB 上一动点，过点作 PD⊥x轴 于点 D，E 是 y 轴上一点，当 △PED 的面积最大时，请求出此时点 P 的坐标．
14. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 AB 在 x 轴上，点 A 在点 B 的左侧，C2,6 在反比例函数 y1=kx 的图象上，且 sin∠BAC=35．
（1）k= ，AC= ；
（2）点 B 的坐标为 ；
（3）直线 y2=kx+10 与双曲线 y1=kx 交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的右侧），求出当 x 为何值时，y2≥y1?
15. 如图，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 A1,2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 C 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的正半轴上，直线 CD 经过点 A，交反比例函数的图象于另一点 B，若 OC=OD，求点 B 的坐标．
16. 如图，直线 y=34x+6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．直线 MN∥AB，且与 △AOB 的外接圆 ⊙P 相切，与双曲线 y=−30x 在第二象限内的图象交于 C，D 两点．
（1）求点 A，B 的坐标和 ⊙P 的半径；
（2）求直线 MN 所对应的函数表达式；
（3）求 △BCN 的面积．
17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 P−1,2，AB⊥x 轴于点 E，正比例函数 y=mx 的图象与反比例函数 y=n−3x 的图象交于 A，P 两点．
（1）求 m，n 的值与点 A 的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求 sin∠CDB 的值．
答案
第一部分
1. （1） ∵ 函数 y2=5xx>0 的图象过点 Aa,1，
∴a=5．
∵ 直线 y1=kx+6 过点 A5,1，
∴1=5k+6，
∴k=−1．
∴y1=−x+6．
由 y=−x+6,y=5x, 得 x=1,y=5 或 x=5,y=1.
∴ 点 B 的坐标为 1,5．
（2） 由图象可得，当 1
∴−4×−1+2=m．解得 m=6．
∴B−1,6．
∵ 点 B−1,6 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，
∴k=−1×6=−6．
∴ 该反比例函数的表达式为 y=−6x．
∵Cn,−4 在反比例函数 y=−6x 的图象上，
∴−4=−6n．解得 n=32．
∴ 点 C 的坐标为 32,−4．
（2） 把 x=0 代入 y=−4x+2，得 y=2，
∴A0,2．
∵AD⊥y轴，
∴ 点 D 的纵坐标为 2．
又点 D 在反比例函数 y=−6x 的图象上，
∴2=−6x．解得 x=−3．
∴D−3,2，
∴AD=3．
∴S△ABD=12×3×6−2=6．
（3） 观察图象可知，不等式 kx<−4x+2 的解集为 x<−1 或 0
∴−2k1+b=0,2k1+b=−3.
解得 k1=−34,b=−32.
∴ 一次函数的解析式为 y1=−34x−32．
∵ 点 D2,−3 在反比例函数 y2=k2x 的图象上，
∴k2=2×−3=−6．
∴ 反比例函数的解析式为 y2=−6x．
（2） 联立 y=−34x−32,y=−6x.
解得 x1=2,y1=−3,x2=−4,y2=32.
∴C−4,32．
（3） x<−4 或 0
∵S△COD=S△AOC+S△AOD=12×2×32+12×2×3=92，S△ACQ=13S△COD，
∴12×32⋅∣t+2∣=13×92．
解得 t=0 或 t=−4．
∴ 点 Q 的坐标为 0,0 或 −4,0．
（5） 所有符合条件的点 P 的坐标为 0,13 或 0,−13 或 0,−6 或 0,−136．
【解析】设点 P 的坐标为 0,m．
∵D2,−3，O0,0，
∴OD=13，OP=∣m∣，PD=22+m+32．
当 △DOP 是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当 OP=OD 时，∣m∣=13．解得 m=±13．
∴P0,13或0,−13．
②当 OD=PD 时，13=22+m+32．解得 m=0（舍去）或 m=−6．
∴P0,−6．
③当 OP=PD 时，∣m∣=22+m+32，解得 m=−136．
∴P0,−136．
综上所述，所有符合条件的点 P 的坐标为 0,13 或 0,−13 或 0,−6 或 0,−136．
（6） 存在．
如图，作点 A−2,0 关于 y 轴的对称点 Aʹ2,0，连接 AʹC 交 y 轴于点 H，
则点 H 即为所求．
设 AʹC 所在直线的解析式为 y=kx+n．
根据题意，得 2k+n=0,−4k+n=32,
解得 k=−14,n=12.
∴AʹC 所在直线的解析式为 y=−14x+12，
当 x=0 时，y=12，
∴ 点 H 的坐标为 0,12．
4. （1） ∵ 点 A2,4 在反比例函数 y=kxx>0，
∴k=2×4=8，
∴ 反比例函数的解析式为：y=8x．
（2） 设点 Bm,8m，过点 A 作 AC⊥x 轴于 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于 D，
∵ 直线 AB 与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于 A，B 两点，
∴k=OC×AC=OD×BD，
∴S△AOC=S△BOD，
∴S△AOB=S梯形ACDB，
∴12×4+8m×m−2=6，
∵m>0，
解得 m=4，
∴B4,2，
设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，
4=2k+b,2=4k+b,
解得 k=−1,b=6,
∴ 直线 AB 的解析式为：y=−x+6．
（3） 在 △PAB 中，根据两边之差小于第三边，即 ∣PA−PB∣≤AB，
∴∣PA−PB∣ 的最大值为线段 AB，
∴ 此时 P 点为直线 AB 与 y 轴的交点，
当 x=0 时，y=6，
∴P0,6．
5. （1） 设直线 OA 的解析式为 y=kx，
∵A3,2，
∴2=3k，解得 k=23，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=23x；
（2） 设经过点 A 的反比例函数的解析式为 y=mx，
∴2=m3，
∴m=6．
∴ 反比例函数的解析式 y=6x，
∵BD∥y 轴，BD⊥x 轴，
∵B6,0，
∴C，D 的横坐标为 6，
把 x=6 代入 y=23x 得 y=23×6=4，
∴C6,4，
把 x=6 代入 y=6x 得 y=1，
∴D6,1，
∴CD=4−1=3，
∴S△ACD=12×3×6−3=92．
6. （1） 把 A−2,b 代入 y=−8x，
得 b=−8−2=4，
所以 A 点坐标为 −2,4，
把 A−2,4 代入 y=kx+5，
得 −2k+5=4，
解得 k=12，
所以一次函数解析式为 y=12x+5；
（2） 将直线 AB 向下平移 mm>0 个单位长度得直线解析式为 y=12x+5−m，
根据题意方程组 y=−8x,y=12x+5−m 只有一组解，
消去 y 得 −8x=12x+5−m，
整理得 12x2−m−5x+8=0，
Δ=m−52−4×12×8=0，
解得 m=9 或 m=1，
即 m 的值为 1 或 9．
7. （1） 由题意可知：边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 B 的坐标为 2,2，
∵ 函数 y=kxx>0 的图象经过 B2,2，
∴k=4．
（2） ① 2 个．
②当 m 大于 12 时，直线以 −1,1 为中心逆时针旋转，新生成的第一个整点的坐标为 1,2；
当 m=1 时，如图所示，此时整点数也为 3．
综上，m 的取值范围是 12
8. （1） ∵A1,m 在一次函数 y=2x 的图象上，
∴m−2．
将 A1,2 代入反比例函数 y=kx，得 k=2，
∴ 反比例函数的表达式为 y=2x．
（2） 作点 A 关于 x 轴的对称点 Aʹ，连接 AʹB 交 x 轴于点 M，
此时 MA+MB 最小，
A 关于 x 轴的对称点为 Aʹ1,−2，易知 B2,1．
∴ 直线 AʹB 的表达式为 y=3x−5，
∴ 点 M 的坐标为 53,0．
9. （1） ∵AB⊥y 轴，且 AB=1，
∴ 点 A 的横坐标为 1，
∵ 点 A 在直线 y=2x 上，
∴y=2×1=2，
∴ 点 A1,2，
∴B0,2，
∵ 点 A 在函数 y=kx 上，
∴k=1×2=2，
∵OC=t，
∴C0,t，
∵CE∥x 轴，
∴ 点 D 的纵坐标为 t，
∵ 点 D 在直线 y=2x 上，t=2x，
∴x=12t，
∴ 点 D 的横坐标为 12t．
（2） 由（1）知，k=2，
∴ 反比例函数的解析式为 y=2x，
由（1）知，CE∥x 轴，
∴C0,t，
∴ 点 E 的纵坐标为 t，
∵ 点 E 在反比例函数 y=2x 的图象上，
∴x=2t，
∴E2t,t，
∴CE=2t，
∵B0,2，
∴OB=2．
∴S1=S△OBE=12OB⋅CE=12×2×2t=2t．
由（1）知，A1,2，D12t,t，
∴DE=2t−12t，
∵CE∥x 轴，
∴S2=S△ADE=12DEyA−yD=122t−12t2−t=14t2−12t+2t−1，
∴U=S1−S2=2t−14t2−12t+2t−1=−14t2+12t+1=−14t−12+54，
∵ 点 C 在线段 OB 上（不含端点），
∴0
10. （1） 把 A1,a 代入 y=2x，得 a=2，则 A1,2，
把 A1,2 代入 y=kx，得 k=1×2=2，
∴ 反比例函数的解析式为 y=2x，
由 y=2x,y=2x, 得 x=1,y=2 或 x=−1,y=−2,
∴B 点的坐标为 −1,−2．
（2） 如图，作 BD⊥AC 于 D，
则 ∠BDC=90∘，
∵∠C+∠CBD=90∘，∠CBD+∠ABD=90∘，
∴∠C=∠ABD，
∵ 在 Rt△ABD 中，tan∠ABD=ADBD=2+21+1=2，
∴tanC=tan∠ABD=2．
11. （1） ∵ 直线 y=−23x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴A6,0，B0,4，
∵C 是线段 AB 的中点，
∴C3,2，将 C3,2 代入 y1=kxx>0，得 k=3×2=6，
∴ 反比例函数的表达式为 y1=6x．
（2） ∵ 将直线 y=−23x+4 向右平移 4 个单位长度后得到直线 y2=ax+b，直线 y2 交 x 轴于点 D，
∴a=−23，D10,0．
把 D10,0 代入 y2=−23x+b，解得 b=203，
∴ 直线 EF 的解析式为 y2=−23x+203．
由 y=6x,y=−23x+203,
解得 x=1,y=6, 或 x=9,y=23,
∴E1,6，F9,23．
如图，过点 C 作 CP∥y 轴交 EF 于 P，
则 P 点的横坐标为 3，将 x=3 代入 y2=−23x+203，得 y=143，
∴CP=83，
∴S△ECF=S△ECP+S△PCF=12×83×3−1+12×83×9−3=83+8=323．
（3） 由图象可得，不等式 y1
∴a=41=4，
∴ 点 A 的坐标为 1,4，
将 A1,4 代入 y=kx+k，得 k+k=4，
∴k=2．
（2） ①区域 W 内的整点个数是 3．
②如图 2 所示，
当 2x−4=4 时，x=4，此时线段 PM 和 PN 上有 5 个整点；
当 2x−4=5 时，即 x=4.5，此时线段 PM 上有整点．
观察图形可知：若区域 W 内的整点个数不超过 8，m 的取值范围为 3
∴ 直线 l 的解析式为 y=2x−4．
当 m=4 时，n=2m−4=4，
∴ 点 P 的坐标为 4,4．
依照题意画出图象，如图 1 所示．
观察图形可知：区域 W 内的整点个数是 3．
13. （1） 将 B2,1 代入 y2=k2x，得 1=k22．解得 k2=2．
∴ 双曲线的解析式为 y2=2x．
∵A1,m 在双曲线 y2=2x 上，
∴m=2．
∴A1,2．
将 A1,2，B2,1 分别代入 y1=k1x+b，
得 2=k1+b,1=2k1+b. 解得 k1=−1,b=3. 直线 AB 的解析式为 y=−x+3．
（2） 设 Pn,−n+3，且 1≤n≤2，则 OD=n，PD=−n+3．
∴S△PED=12OD⋅PD=12n−n+3=−12n−322+98≥98．
∴ 当 n=32 时，△PED 的面积最大．此时点 P 的坐标为 32,32．
14. （1） 12；10
（2） 132,0
（3） ∵k=12，
∴y1=12x，y2=12x+10．
令 12x+10=12x，解得 x=23 或 x=−32．
∴ 当 −32≤x<0 或 x≥23 时，y2≥y1．
15. （1） 将 A1,2 代入 y=kx，得 2=k1，
解得 k=2，
∴ 反比例函数的解析式为 y=2x．
（2） 设直线 CD 的解析式为 y=ax+b，
OC=OD=mm>0，则点 C，D 的坐标分别为 0,m，m,0，
将 C0,m，Dm,0 分别代入 y=ax+b，得 m=b,0=ma+b,
解得 a=−1,b=m.
∴ 直线 CD 的解析式为 y=−x+m，
将 A1,2 代入 y=−x+m，得 2=−1+m，
解得 m=3，
∴ 直线 CD 的解析式为 y=−x+3，
联立 y=−x+3,y=2x.
解得 x1=1,y1=2, x2=2,y2=1.
∴ 点 B 的坐标为 2,1．
16. （1） 对于 y=34x+6，令 y=34x+6=0，解得 x=−8．
令 x=0，则 y=6，
故点 A，B 的坐标分别为 −8,0，0,6，
因为 ∠AOB 为直角，则 AB 是圆 P 的直径，
由点 A，B 的坐标得：AB=62+82=10，
故圆的半径 =12AB=5．
（2） 过点 N 作 HN⊥AN 于点 H，
设直线 MN 与圆 P 切于点 G，
连接 PG，则 HN=PG=5，
则 sin∠NBH=sin∠ABO=AOAB=810=45，
在 Rt△NHB 中，NB=NHsin∠NBH=545=254，
即直线 AB 向上平移 254 个单位得到 MN，
故 MN 的表达式为 y=34x+6+254=34x+494．
（3） 由直线 MN 的表达式知，点 N0,494，
联立 MN 的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120=0，
解得：x=−3或−403，
故点 C 的坐标为 −3,10，
由点 C，N 的坐标得：CN=−32+10−4942=154，
则 △BCN 的面积 =12CN⋅NH=12×5×154=758．
17. （1） 将 P−1,2 代入 y=mx，得 2=−m，
解得 m=−2，
∴ 正比例函数的解析式为 y=−2x，
将 P−1,2 代入 y=n−3x，得 2=−n−3，
解得 n=1，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−2x，
由 y=−2x,y=−2x 解得 x1=−1,y1=2, x2=1,y2=−2,
综合题图可知点 A 的坐标为 1,−2．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠CPD=90∘，∠DCP=∠OAE，
∵AB⊥x 轴，
∴∠AEO=90∘，
∴△CPD∽△AEO．
（3） ∵ 点 A 的坐标为 1,−2，
∴AE=2，OE=1，
∴AO=AE2+OE2=5，
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP=∠AOE，
∴sin∠CDB=sin∠AOE=AEAO=25=255．
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