高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.2 指数函数的性质与图像导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.2 指数函数的性质与图像导学案，共10页。学案主要包含了解指数方程，比较大小，解指数不等式等内容，欢迎下载使用。


一、解指数方程
例1 解下列关于x的方程：
(1)81×32x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
解 (1)因为81×32x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))x＋2，
所以32x＋4＝3－2(x＋2)，
所以2x＋4＝－2(x＋2)，所以x＝－2.
(2)因为22x＋2＋3×2x－1＝0，
所以4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t>0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝eq \f(1,4)或t＝－1(舍去)．
所以2x＝eq \f(1,4)，解得x＝－2.
反思感悟 (1)af(x)＝b型方程通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意根的取舍．
跟踪训练1 解下列关于x的方程：
(1)33x－2＝81；
(2)eq \r(5x)＝eq \r(3,25)；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
解 (1)因为81＝34，所以33x－2＝34，
所以3x－2＝4，解得x＝2.
(2)因为eq \r(5x)＝eq \r(3,25)，所以，
所以eq \f(x,2)＝eq \f(2,3)，解得x＝eq \f(4,3).
(3)令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
所以x＝1或x＝0.
二、比较大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)与；
(3)1.50.3和
解 (1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，
∴1.52.5<
(2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,11)))x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,33)))x的图像(如图)，
由图知.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>
(学生)
反思感悟 比较指数式大小的3种类型及处理方法
跟踪训练2 比较下列各组数的大小：
(1)0.8－0.1，1.250.2；
(2)1.70.3，0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1)．
解 (1)∵0<0.8<1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
而0.8－0.2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))－0.2＝1.250.2，
即0.8－0.1<
(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6.
当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．
∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；
当a>1时，a0.5三、解指数不等式
例3 (1)不等式4x<42－3x的解集是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析 ∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x(2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0且a≠1)．
解 ①当0∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
反思感悟 指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0且a≠1)，a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x(a>0且a≠1)等．
跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 ∵a2＋a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>eq \f(1,2).
∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
1．(多选)下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83
C．π2> D．0.90.3>0.90.5
答案 CD
解析 ∵y＝πx是增函数，且2>eq \r(3)，
∴π2>；
∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，
∴0.90.3>故CD正确．
2．方程42x－1＝16的解是( )
A．x＝－eq \f(3,2) B．x＝eq \f(3,2)
C．x＝1 D．x＝2
答案 B
解析 42x－1＝42，所以2x－1＝2，x＝eq \f(3,2).
3．若a3.1>a3(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 因为3.1>3，且a3.1>a3，
所以函数y＝ax是增函数，所以a>1.
4．不等式>5x＋1的解集是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)
解析 由>5x＋1得2x2>x＋1，
解得x<－eq \f(1,2)或x>1.
5．设0答案 (1，＋∞)
解析 因为0又因为，
所以2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.
1．知识清单：
(1)解指数型方程．
(2)指数函数的图像与性质的应用：比较大小，解指数不等式．
2．方法归纳：转化与化归、分类讨论．
3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案 D
解析 ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
2．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x>0时总有f(x)>1，则实数a的取值范围是( )
A．1<|a|<2 B．|a|<2
C．|a|>1 D．|a|>eq \r(2)
答案 D
解析 由题意知a2－1>1，
解得a>eq \r(2)或a<－eq \r(2).即|a|>eq \r(2).
3．a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))－π与1的大小关系是( )
A．a>1 B．a<1
C．a＝1 D．无法比较
答案 A
解析 ∵0∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x在R上是减函数，
∵－π<0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))－π>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))0＝1，
即a>1.
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1 C．3 D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是增函数，当x＝1时，ymax＝3.
5．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图像可知0.40.2>0.40.6，即b>c；
因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.
综上a>b>c.
6．函数f(x)＝3x－3(1答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，9))
解析 因为1而函数y＝3x在(－2,2]上是增函数，
于是有eq \f(1,9)即所求函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，9)).
7．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 c>a>b
解析 因为函数y＝0.8x是R上的减函数，
所以a>b.
又因为a＝0.80.7<0.80＝1，c＝1.20.8>1.20＝1，
所以c>a.故c>a>b.
8．不等式2x>的解集是________．
答案 (0,2)
解析 由2x>，得2x>，
∴x>x2－x，即x2－2x<0，解得0∴不等式2x>的解集为(0,2)．
9．已知a－5x0且a≠1)，求x的取值范围．
解 当a>1时，∵a－5x解得x>eq \f(7,6)；
当0x－7，
解得x综上所述，当a>1时，x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6)，＋∞))；
当010．若函数f(x)＝(k＋3)ax＋3－b(a>0且a≠1)是指数函数．
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式f(2x－7)>f(4x－3)．
解 (1)∵f(x)＝(k＋3)ax＋3－b(a>0且a≠1)是指数函数，
∴k＋3＝1且3－b＝0，解得k＝－2且b＝3.
(2)由(1)得f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(2x－7)>f(4x－3)，所以a2x－7>a4x－3.
①当a>1时，f(x)＝ax单调递增，则不等式等价于2x－7>4x－3，解得x<－2；
②当0－2.
综上，当a>1时，原不等式的解集为{x|x<－2}；
当0－2}．
11．已知函数f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a>1
C．a<1 D．0答案 D
解析 因为－2>－3，f(－2)>f(－3)，
又f(x)＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))－2>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))－3，所以eq \f(1,a)>1，所以012．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))
答案 B
解析 由单调性定义，得f(x)为减函数应满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(013．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
答案 D
解析 40.9＝21.8，80.48＝21.44，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，
由于y＝2x在R上是增函数，
所以21.8>21.5>21.44，
即y1>y3>y2.
14．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
答案 D
解析 函数f(x)的图像如图所示，
观察图像可知会有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x<0，,2x所以满足f(x＋1)15．设x<0，且1A．0C．1答案 B
解析 ∵1又当x＝－1时，eq \f(1,b)a，∴016．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6＝ab，,24＝b·a3，))结合a>0且a≠1，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3.))
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x有最小值eq \f(5,6).
∴只需m≤eq \f(5,6)即可．
∴m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,6))).