初中数学北师大版九年级下册第三章 圆7 切线长定理一课一练

初中数学·北师大版·九年级下册——第三章　圆

*7　切线长定理

测试时间:25分钟

一、选择题

1.(2020青海西宁中考)如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB= (　　)

A.　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.3

2.如图,PA、PB分别是☉O的切线,A、B为切点,AC是☉O的直径,已知∠BAC=25°,则∠P的度数为              (　　)

A.35°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.50°

3.(2021江苏泰州泰兴实验初中教育集团期末)如图,PA、PB切☉O于点A、B,PA=4,CD切☉O于点E,交PA、PB于C、D两点,则△PCD的周长是              (　　)

A.4　　　　B.8　　　　C.12　　　　D.16

4.如图,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,AC是直径,∠P=40°,则∠BAC= (　　)

A.40°　　　　B.80°　　　　C.20°　　　　D.10°

5.(2019台湾省中考)如图,直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,根据图中标示的长度与角度,AD的长为              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

二、填空题

6.如图,CA、CB是☉O的两条切线,若∠ACO=30°,则∠ACB=　　　　°. 

7.(2020广东中山期末)如图,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为　　　　. 

8.如图,已知PA、PB、EF分别切☉O于点A、B、D,若∠P=35°,则∠AOB=　  ,∠EOF=　　　. 

9.(2021河南驻马店汝南期末)如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5,AC=12,BC=13,则☉O的半径是　　　　. 

三、解答题

10.如图,AB、BC、CD分别与☉O相切于点E、F、G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.

(1)求∠BOC的度数;

(2)求BE+CG的长;

(3)求☉O的半径.

11.如图,过半径为 6 cm的☉O外一点P引☉O的切线PA、PB,切点为A、B,连接PO交☉O于点F,过点F作☉O的切线分别交PA、PB于点D、E.

(1)若PO=10 cm,求△PED的周长;

(2)若∠APB=40°,连接DO、EO,求∠DOE的度数.

12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,求DM的长.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　B　∵PA,PB与☉O分别相切于点A,B,

∴PA=PB,∵∠APB=60°,

∴△PAB是等边三角形,∴AB=AP=2.

故选B.

2.答案　D　根据切线的性质得∠PAC=90°,又因为∠BAC=25°,所以∠PAB=65°.根据切线长定理得PA=PB,所以∠PBA=∠PAB=65°,所以∠P=50°.故选D.

3.答案　B　∵PA、PB切☉O于点A、B,∴PB=PA=4,∵CD切☉O于点E,交PA、PB于C、D两点,∴CA=CE,DB=DE,∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=4+4=8.所以△PCD的周长是8.故选B.

4.答案　C　∵PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,

∴∠OAP=90°,PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,

∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA==70°,

∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-70°=20°,

故选C.

5.答案　D　设AD=x,由切线长定理易得AC=AD+CE=x+4,AB=AD+BE=x+1,

在Rt△ABC中,由勾股定理得(x+1)2+52=(x+4)2,解得x=,即AD的长度为.故选D.

二、填空题

6.答案　60

解析　∵CA、CB是☉O的切线,∴∠CAO=∠CBO=90°,CA=CB.

在Rt△COA和Rt△COB中,∴Rt△COA≌Rt△COB,∴∠BCO=∠ACO=30°,

∴∠ACB=30°+30°=60°.

7.答案　50

解析　如图,设点E、F、G、H为四边形ABCD各边与☉O的切点,∵四边形ABCD的四条边都与☉O相切,∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,∴AD+BC=AB+CD=25,∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=25+25=50,故答案为50.

8.答案　145°;72.5°

解析　∵PA、PB分别切☉O于点A、B,∴∠PAO=∠PBO=90°,

∴∠AOB=360°-90°-90°-35°=145°.

如图,连接OD,易证△AOE≌△DOE,△DOF≌△BOF,

∴∠AOE=∠DOE,∠DOF=∠BOF,∴∠EOF=∠AOB=72.5°.

9.答案　2

解析　如图,连接OD,OE,OF,

∵△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,

∴OE⊥AC,OF⊥AB,AE=AF,

∵AB=5,AC=12,BC=13,52+122=132,

∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°,

∴∠A=∠AFO=∠AEO=90°,又∵AE=AF,

∴四边形AEOF是正方形,∴OE=OF=AE=AF,

设☉O的半径是r,则AF=AE=r,∴BF=BD=5-r,EC=DC=12-r,

∵BD+DC=BC=13,∴5-r+12-r=13,解得r=2,所以☉O的半径是2.故答案为2.

三、解答题

10.解析　(1)如图,连接OE、OF、OG,∵AB、BC分别与☉O相切于点E、F,∴∠BEO=∠BFO=90°,

在Rt△BEO与Rt△BFO中,∴Rt△BEO≌Rt△BFO,

∴∠OBF=∠OBE,同理可得∠OCF=∠OCG.

∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,

∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°.

(2)由(1)知∠BOC=90°.

∵OB=6 cm,OC=8 cm,

∴由勾股定理得BC==10 cm,

由切线长定理得BE=BF,CG=CF,

∴BE+CG=BF+CF=BC=10 cm.

(3)∵OF⊥BC,∠BOC=90°,∴OF==4.8 cm.

故☉O的半径为4.8 cm.

11.解析　(1)如图,连接AO、BO,则OA⊥PA.∵OA=6 cm,PO=10 cm,∴PA==8 cm.

∵PA、PB、DE为☉O的切线,∴PA=PB,DF=DA,EF=EB,

∴△PED的周长=PD+DF+EF+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=16 cm.

(2)∵PA、DE为☉O的切线,∴∠DAO=∠DFO=90°,易证得Rt△AOD≌Rt△FOD,∴∠AOD=∠FOD.

同理可得∠EOF=∠EOB,∴∠DOE=∠AOB,

∵PA、PB为☉O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°,

∴∠AOB=360°-40°-90°-90°=140°,

∴∠DOE=×140°=70°.

12.解析　如图,连接OE,OF,OG,ON.

∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,CD=AB=4.

∵AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,

∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,OE=OF=OG,

∴四边形AFOE,四边形FBGO是正方形,

∴AF=OF=BF=AB=2,∴AE=BG=2,

∴DE=AD-AE=5-2=3,

∵DM是☉O的切线,

∴DN=DE=3,MN=MG,

∴CM=BC-BG-MG=5-2-MN=3-MN,DM=DN+MN=3+MN.

在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,

∴(3+MN)2=42+(3-MN)2.

∴MN=,∴DM=3+=.