第二讲.二项式定理练习题

第二讲.二项式定理

基础知识梳理

1．二项式定理：

，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数.

③项数：共项，是关于与的齐次多项式

④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有项。

②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。

③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令   

令 

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···

②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，

                变形式。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令，则，

从而得到：

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。

                    如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为，设第项系数最大，应有，从而解出来。

一．例题讲解

题型一：二项式定理的逆用；

例：

解：与已知的有一些差距，

练：

解：设，则

题型二：利用通项公式求的系数；

例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？

解：由条件知，即，，解得，由

，由题意，

则含有的项是第项,系数为。

练：求展开式中的系数？

解：，令,则

故的系数为。

题型三：利用通项公式求常数项；

例：求二项式的展开式中的常数项？

解：，令，得，所以

练：求二项式的展开式中的常数项？

解：，令，得，所以

练：若的二项展开式中第项为常数项，则

解：，令，得.

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式展开式中的有理项？

解：，令,()得，

所以当时，，，

当时，，。

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

例：若展开式中偶数项系数和为，求.

解：设展开式中各项系数依次设为

    ,则有①，,则有②

    将①-②得：

    有题意得，，。

练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。

解：，，解得

    所以中间两个项分别为，，

题型六：最大系数，最大项；

例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。

练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。

练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于

练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。

练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？

解：由解出,假设项最大，

，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有

练：在的展开式中系数最大的项是多少？

解：假设项最大，

，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为

题型七：含有三项变两项；

例：求当的展开式中的一次项的系数？

解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为

它的系数为。

解法② 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.

练：求式子的常数项？

解：，设第项为常数项，则，得,, .

题型八：两个二项式相乘；

例：

解：

练：

解：

.

练：

解：

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；

例：

解：

题型十：赋值法；

例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若

,则等于多少？

解：若，有，，

    令得，又,即解得，.

练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？

解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.

练

解：

练：

解：

题型十一：整除性；

例：证明：能被64整除

证：

由于各项均能被64整除

二.跟踪练习

1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是              

2、        2、

3、的展开式中的有理项是展开式的第         项

4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是         

5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数

6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数

7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？

8、自然数n为偶数时，求证：

9、求被9除的余数

10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项

三．历年高考真题

一、选择题

1．（2017新课标Ⅰ）展开式中的系数为

A．15      B．20        C．30      D．35

2．（2017新课标Ⅲ）的展开式中的系数为

A．80          B．40                C．40             D．80

3．(2016年四川) 设为虚数单位，则的展开式中含的项为

A．－15      B．15       C．－20       D．20

4．（2015湖北）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

A．         B．         C．          D．

5．（2015陕西）二项式的展开式中的系数为15，则

A．4      B．5        C．6         D．7

6．（2015湖南）已知的展开式中含的项的系数为30，则

A．      B．      C．6       D．－6

7．（2014浙江）在的展开式中，记项的系数为，

则=

A．45       B．60        C．120        D． 210

8．（2014湖南）的展开式中的系数是

A．－20          B．－5            C．5           D．20

9．（2013辽宁）使得的展开式中含常数项的最小的为

A．       B．        C．         D．

10．（2013江西）展开式中的常数项为

A．80        B．－80          C．40       D．－40

11．（2012安徽）的展开式的常数项是（     ）

A．             B．              C．               D．

12．（2012天津）在的二项展开式中，的系数为

A．10   　   B．－10　  　　 C．40　　  　D．－40

13．（2011福建）的展开式中，的系数等于

A．80               B．40          C．20         D．10

14．（2011陕西）（R）展开式中的常数项是

A．       B．       C．15        D．20

二、填空题

15．（2017浙江）已知多项式=，则=___，=___．

16．（2017山东）已知的展开式中含有项的系数是，则        ．

17．(2016年山东)若的展开式中的系数是-80，则实数a=_______．

18．(2016年全国I)的展开式中，x3的系数是      ．（用数字填写答案）

19．（2015北京）在的展开式中，的系数为      ．（用数字作答）

20．（2015新课标2） 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则=______．

21．（2014新课标1）的展开式中的系数为        ．(用数字填写答案)

22．（2014新课标2）的展开式中，的系数为15，则=___．(用数字填写答案)

23．（2014山东）若的展开式中项的系数为20，则的最小值为    ．

24．（2013安徽）若的展开式中的系数为7，则实数______．

25．（2012广东）的展开式中的系数为______．（用数字作答）

26．(2012浙江)若将函数表示为

，其中，，，…，为实数，则      ．

27．（2011浙江）设二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则的值是        ．

28．（2010安徽）展开式中，的系数等于      ．

跟踪练习参考答案

1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是

2、4n

3、3,9,15,21

4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35

5、,要得到含x­4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是

6、=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为

7、由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小

8、原式=

9、 ,

∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余8

10、

在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 

 ∴展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为240

11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

∴展开式中系数最大项为第5项，T5=

历年高考真题参考答案

1．C【解析】展开式中含的项为，故前系数为30，选C．

2．C【解析】的展开式的通项公式为：，

当时，展开式中的系数为，

当时，展开式中的系数为，

所以的系数为．选C． 

3．A【解析】通项，令，得含的项为，故选A．

4．D【解析】因为的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数和为．

5．B【解析】由，知，

∴，解得或

6．D【解析】，令，可得，故选D．

7．C【解析】由题意知，，，，因此．

8．A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项，故的系数为－20，选A．

9．B【解析】通项，常数项满足条件，所以时最小．

10．C【解析】，令，解得，所以常数项为．

11．D【解析】第一个因式取，第二个因式取得：，第一个因式取，第二个因式取得：  展开式的常数项是．

12．D【解析】∵=，∴，即，

∴的系数为．

13．B【解析】的展开式中含的系数等于，系数为40.答案选B．

14．C【解析】，

令，则，所以，故选C．

15．16,4【解析】将变换为，则其通项为，取和可得，

，令，得．

16．4【解析】，令得：，解得．

17．【解析】因为，所以由，

因此

18．【解析】由得，令得，此时系数为10．

19．40【解析】由通项公式，，令，得出的系数为．

20．3【解析】展开式的通项为，由题意可知，

，解得．

21．－20【解析】中，令，再令，

得的系数为．

22．【解析】二项展开式的通项公式为，当时，，

，则，故．

23．2【解析】，令，得，

故，∴，当且仅当或时等号成立．

24．【解析】通项

所以．

25．20【解析】的展开式中第项为

令得：的系数为．

26．10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．

即：．

法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．

法三：，则。

27．2【解析】由题意得，

∴，，又∵，

∴，解之得，又∵，∴．

28．15【解析】．