第二讲.等差，等比数列的性质练习题

第二讲：等差，等比数列的性质

一．等差数列

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

(1)定义法：若或(常数) 是等差数列．

(2)等差中项：数列是等差数列．

⑶数列是等差数列（其中是常数）。

(4)数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.(注：，)

  （4）若、为等差数列，则都为等差数列

(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和

(10)求的最值

法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当 由可得达到最大值时的值．

         （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

二、等比数列

1. 等比数列的定义：，称为公比

2. 通项公式：

，       首项：；公比：

推广：，                       从而得或

3. 等比中项

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列是等比数列

4. 等比数列的前n项和公式：

(1) 当时，

(2) 当时，

（为常数）

5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列

 （2） 等比中项：（0）为等比数列

（3） 通项公式：为等比数列

（4） 前n项和公式：为等比数列

6. 等比数列的证明方法

依据定义：若或为等比数列

7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；

8. 等比数列的性质

(1) 当时

①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比

②前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比

(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得(注：)

(4) 列,为等比数列,则数列,,, (k为非零常数) 均为等比数列.

(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列

(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列

(7) 若为等比数列,则数列，，，成等比数列

(8) 若为等比数列,则数列,    ,  成等比数列

(9) ①当时，                          ②当时，

,                 

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;

④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,,.

(11)若是公比为q的等比数列,则

三．例题讲解

1.【2019理全国卷3】记Sn为等差数列{an}前n项和，，则___________.

2.【2019年理全国卷3】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（  ）

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

3.【2019年全国卷1】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．

4.【2019年全国卷1】记为等差数列的前n项和．已知，则

A.  B.  C.  D.

5.【2019年理北京卷】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．

6.【2019年江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.

7．【2018年理新课标I卷】设为等差数列的前项和，若，，则

A.     B.     C.     D.

8．【2018年理北京卷】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．

9.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A．1    B．2    C．4    D．8

10.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为[来源:Z+xx+k.Com]

A．   B．    C．3   D．8

11.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（）

A．若，则               B．若，则[来源:学*科*网Z*X*X*K]

C．若，则               D．若，则

12.【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则

（A）100   （B）99  （C）98  （D）97

13.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（  ）

1.        B.    C.       D.

14.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　

A、-1            B、0        C、1         D、6

15.【2014福建，理3】等差数列的前项和，若，则(    )

16.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）

A．6   B．7    C．8      D．9

17.【2015课标2理4】已知等比数列满足a1=3， =21，则 (     )

A．21      B．42       C．63     D．84

18．（2014福建）等差数列的前项和，若，则

A．8        B．10          C．12        D．14

19．（2012福建）等差数列中，,，则数列的公差为

A．1            B．2          C．3          D．4

20．（2011江西）设为等差数列，公差,为其前项和，若，

则

 A．18        B．20        C．22          D．24

21．（2010安徽）设数列的前项和，则的值为

A．15           B．16         C．49          D．64

4．（2013新课标Ⅱ）等比数列的前项和为，已知，，则=

A．      B．      C．         D．

5．（2012北京） 已知为等比数列．下面结论中正确的是

A．          B．

C．若，则   D．若，则

6．（2011辽宁）若等比数列满足，则公比为

A．2           B．4          C．8           D．16

7．（2010广东）已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则

A．35          B．33          C．3l         D．29

8．（2010浙江）设为等比数列的前n项和，则

A．－11       B．－8          C．5   D．11

9．（2010安徽）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是

A．        B．

C．             D．

10．（2010北京）在等比数列中，，公比.若，则=

A．9         B．10         C．11          D．12

11．（2010辽宁）设为等比数列的前项和，已知，，则公比

A．3          B．4         C．5         D．6

12．（2010天津）已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为

A．或5       B．或5    C．        D．

参考答案

1.【答案】4. 【详解】因，所以，即，

所以．

2.【答案】C 【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

3.   【答案】. 【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以

4.【答案】A  【详解】由题知，，解得，∴，故选A．

5.【答案】    (1). 0.    (2). -10.

【详解】等差数列中,,得,公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.

6.【答案】16.

【详解】由题意可得：，

解得：，则.

7.【答案】B

【解析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.

详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B.

8.【答案】

9.【答案】C

【解析】

试题分析：设公差为，，，联立解得，故选C.

秒杀解析：因为，即，则，即，解得，故选C.

10.【答案】A

故选A.

11.【答案】C

【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.

12.【答案】C试题分析：由已知,所以故选C.

13.【答案】B.

【解析】∵等差数列，，，成等比数列

，∴，

∴，∴，故选B.

14【答案】B 【解析】由等差数列的性质得，选B.

15.【答案】C[  试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.

16.【答案】D   【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．

17.【答案】B

【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．

18．C【解析】 设等差数列的公差为，则，所以，解得，所以．

19．B 【解析】由题意有,,又∵，∴，∴．

20．B【解析】由，得，

．

21．A【解析】．

22．C【解析】设等比数列的公比为，∵，∴，即，∴，由，即，∴．

23．B【解析】取特殊值可排除A、C、D，由均值不等式可得．

24．B【解析】由，得，两式相除得，

∴，∵，可知公比为正数，∴．

25．C【解析】设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，

即．由与2的等差中项为知，，

．∴，即．，

，．

26．A【解析】通过，设公比为，将该式转化为，

解得=－2，所以．

27．D【解析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足．

28．C【解析】，因此有．

29．B【解析】两式相减得， ，．

30．C【解析】显然1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和．