数学选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系精练

课后素养落实(十)　圆与圆的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)

A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切

B　[圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即两圆相交．]

2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)

A．4　　B．4　　C．8　　D．8

C　[依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a＞0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4，1)，得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8．]

3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(　　)

A．(x－2)2＋y2＝5  B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x－1)2＋(y－1)2＝5  D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5

D　[由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2，0)，半径为．设点(－2，0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则解得

∴所求圆的圆心为(－1，－1)．

又所求圆的半径为，

∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5．]

4．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　)

A．4条 　　B．3条　　C．2条 　　D．1条

C　[圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，

圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，

∴|O1O2|＝ ＝13，

∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，

∴两圆相交．∴公切线有2条．]

5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(　　)

A．0.5 h 　　B．1 h　　C．1.5 h　　D．2 h

B　[如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，∴时间为1 h．]

二、填空题

6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．

a2＋b2>3＋2　[由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，即a2＋b2>3＋2．]

7．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．

[1，121]　[x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36．圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，解得1≤m≤121．]

8．到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．

4　[到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5．

半径之和为3＋1＝4，因为5>4，

所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．]

三、解答题

9．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度．

[解]　(1)将两圆方程配方化为标准方程，则

C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，

∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，

圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝．

又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，|r1－r2|＝|5－|，

∴|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，

∴两圆相交．

(2)将两圆方程相减，

得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0．

(3)法一：由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3，

∴公共弦长为l＝2＝2＝2．

法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组

解得或

∴|AB|＝＝2．

即公共弦长为2．

10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0．

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

[解]　两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为和．

(1)当两圆外切时，＝＋，

解得m＝25＋10．

(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10．

(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，

∴公共弦长为2＝2．

11．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)

A．21　　B．19　　C．9 　　D．－11

C　[依题意可得圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圆心分别为C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝ ＝5．又r1＝1，r2＝，由r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9．]

12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　)

A．5 　　B．1　　C．3－5 　　D．3＋5

C　[圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2)，半径为3；

圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径为2；

两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5．]

13．(多选题)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是(　　)

A．－1　　B．－3　　C．1　　D．3

ABCD　[由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}．]

14．(一题两空)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．

x＝±1　4　[连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，

∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4．

由|OO1|＝5，得m＝±5，所以，直线AB的方程为x＝±1．]

15．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)

A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0

C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0

D　[法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，

得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0．由得所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D．

法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．

连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．

又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l．因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．

易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1，1)．因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D．]