高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后作业题

第二章　2.5　2.5.2

A级——基础过关练

1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)

A．内切 B．相交

C．外切 D．外离

【答案】B　

【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝．由于2＜d＜4，所以两圆相交．

2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

【答案】C　

【解析】r1＝2，r2＝3，圆心距d＝5，由于d＝r1＋r2，所以两圆外切，故公切线有3条．

3．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于(　　)

A．1 B．－1

C．±2 D．±1

【答案】D　

【解析】圆C2：(x－a)2＋y2＝1，因为两圆内切，所以|C1C2|＝r1－r2＝2－1＝1，即|a|＝1，故a＝±1．

4．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

【答案】C　

【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆心C1(1,3)，半径为r1＝3，圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C2(－2，－1)，半径r2＝2．因为|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．作出两圆图象如图，所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．

5．(2021年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为(　　)

A． B．

C．2 D．2

【答案】C　

【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0．圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此公共弦长为2＝2．

6．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C　

【解析】两圆相交弦所在直线的方程为x＋y＋a＋b－＝0，所以弦长为2，所以当|a－b|＝1时，弦长最大，最大值为2．

7．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)

A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2

C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b

【答案】ABC　

【解析】由题意，由圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2．分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入，得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2．两式相减，得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以A，B正确．由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以C正确，D不正确．故选ABC．

8．若曲线C1：x2＋y2＝5与曲线C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B两点，且两曲线在A处的切线互相垂直，则m的值是________．

【答案】±5　

【解析】由已知可得圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(m,0)，半径r2＝2，|C1C2|2＝r＋r，即m2＝25，故m＝±5．

9．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．

【答案】x＋y－3＝0　

【解析】AB的中垂线即为圆C1，圆C2的连心线C1C2所在的直线，又因为C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0．

10．(2022年哈尔滨期末)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝36－m，其中m∈R．

(1)如果圆C与圆x2＋y2＝1外切，求m的值；

(2)如果直线x＋y－3＝0与圆C相交所得的弦长为4，求m的值．

解：(1)圆C的圆心为(3,4)，半径为，

若圆C与圆x2＋y2＝1外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，

故＝1＋，解得m＝20．

(2)圆C的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为d＝＝2，

由垂径定理，得2＝()2－d2，解得m＝8．

B级——能力提升练

11．若圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是(　　)

A．∪ B．∪

C．∪ D．(－∞，－∪(，＋∞),

【答案】C

【解析】根据题意知，圆(x－a)2＋(y－a)2＝4与圆x2＋y2＝1相交，两圆圆心距为d＝＝|a|，所以2－1＜|a|＜2＋1，解得＜|a|＜．所以－＜a＜－，＜a＜．

12．(多选)(2022年石家庄模拟)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．若圆C2与x轴相切，则m＝2

B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离

C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0

D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点,

【答案】BD

【解析】因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝＝2＞2＋，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11，故点(2,1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选BD．

13．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直，则r＝________．

【答案】3

【解析】设一个交点为P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，所以r2＝41－8x0＋6y0.因为两切线互相垂直，所以·＝－1，所以3y0－4x0＝－16.所以r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，所以r＝3.,14.已知相交两圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，公共弦所在直线的方程为__________，公共弦的长度为__________．

【答案】x＝1　2

【解析】如图，联立两式作差可得公共弦所在直线的方程为x＝1.将x＝1代入x2＋y2＝4，解得y＝±，l＝|y1－y2|＝2.

15．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．

解：方法一，由

两式相减，得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.

联立

解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．

因为所求圆以公共弦为直径，

所以圆心C是公共弦的中点(2，－2)，

半径为＝5.

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.

方法二，由方法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.

设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．

可求得圆心C.

因为圆心C在公共弦所在直线上，

所以4·＋3·－2＝0，解得λ＝.

所以圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.