高中数学第一章常用逻辑用语测评训练含解析北师大版选修1_1

这是一份高中数学第一章常用逻辑用语测评训练含解析北师大版选修1_1，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列语句是真命题的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.这是一棵大树 B.x+y+z=3
C.函数f(x)=x2是增函数 D.素数不一定是奇数
解析:选项A和B不是命题;选项C是假命题;2是素数,但不是奇数,故D项正确.
答案:D
2.命题“若x<0,则ln(x+1)<0”的否命题是(　　)
A.若x≥0,则ln(x+1)<0
B.若x<0,则ln(x+1)≥0
C.若x≥0,则ln(x+1)≥0
D.若ln(x+1)≥0,则x≥0
解析:由原命题与其否命题之间的关系可知,原命题的否命题为:若x≥0,则ln(x+1)≥0.
答案:C
3.已知命题p:“若(a-b)3b2>0,则a>b”,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,错误命题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此错误命题的个数为2.
答案:C
4.命题“任意的x>0,xx-1>0”的否定是(　　)
A.存在x<0,xx-1≤0 B.存在x>0,xx-1≤0
C.任意的x>0,xx-1≤0 D.任意的x<0,xx-1>0
解析:因为命题“任意的x>0,xx-1>0”,所以否定是:存在x>0,xx-1≤0.
答案:B
5.(2017北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.
答案:A
6.设命题p:函数y=1x在定义域上是减函数;命题q:存在实数a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,1a+1b=3,以下说法正确的是(　　)
A.p∨q为真 B.p∧q为真
C.p真q假 D.p,q均为假
解析:显然命题p为假命题.当a,b>0,a+b=1时,1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥4,故不存在a,b∈(0,+∞),使得1a+1b=3,即命题q为假命题.
答案:D
7.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是(　　)
A.14,+∞ B.-∞,14
C.12,+∞ D.-∞,-12
解析:当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0.当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=14-m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥14-m,所以m≥14.故选A.
答案:A
8.已知命题?p:存在x∈(1,2),使得ex-a>0,若p是真命题,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,e) B.(-∞,e]
C.(e2,+∞) D.[e2,+∞)
解析:因为p是真命题,所以?p是假命题,所以任意x∈(1,2),有ex-a≤0,即a≥ex,又y=ex在(1,2)上的最大值为e2,所以a≥e2.
答案:D
9.已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为(　　)
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
解析:由p:存在x∈R,mx2+1≤0,可得m<0.由q:任意x∈R,x2+mx+1>0,可得Δ=m2-4<0,解得-2 答案:A
10.已知命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足x2-5x+6≤0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,2] B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(0,1)
解析:设A={x|x2-4ax+3a2<0,a>0},
B={x|x2-5x+6≤0},
则A={x|a 因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,
所以03,所以1 所以实数a的取值范围是(1,2).
答案:B
11.已知函数f(x)=23ax2+2x-1(a∈R),给出两个命题:p:函数f(x)的值域不可能是(0,+∞);q:函数f(x)的递增区间可以是(-∞,-2].则下列命题为真命题的是(　　)
A.p∧q B.p∨(?q)
C.(?p)∧q D.(?p)∧(?q)
解析:当a=0时,f(x)=232x-1的值域为(0,+∞),故命题p为假命题;要使函数f(x)的递增区间是(-∞,-2],只需y=ax2+2x-1的递减区间是(-∞,-2],这时只要满足a>0,-22a=-2,解得a=12,因此命题q为真命题.故(?p)∧q为真.
答案:C
12.若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>3 B.a<3 C.a>4 D.a<4
解析:若2x>a-x,即2x+x>a,设f(x)=2x+x,该函数为增函数,由题意知2x+x>a成立,即f(x)>a成立能得到x>1;反之不成立,因为当x>1时,f(x)>3,所以a>3.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知命题p:lg(x2-2x-2)<0,命题q:1-x2<1,若p的否定为真命题,q为真命题,则实数x的取值范围是　　　　　. 
解析:因为p的否定为真命题,
所以lg(x2-2x-2)≥0,则x2-2x-2≥1,
即x≤-1或x≥3.因为q为真命题,
所以由1-x2<1,得0 由x≤-1或x≥3,0 答案:3≤x<4
14.已知命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=x-3的定义域是3,+∞,则“p∨q”“p∧q”“?p”是真命题的是　　　　　. 
解析:依题意p假,q真,所以“p∨q”“?p”是真命题.
答案:p∨q,?p
15.函数f(x)=log2x,x>0,-2x+a,x≤0,有且只有一个零点的充要条件是　　　　　. 
解析:当x>0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-∞,0]上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x≤0时,0<2x≤1,所以实数a应满足a≤0或a>1.
答案:a≤0或a>1
16.下列命题正确的是　　　　　.(写序号) 
①命题“存在x∈R,使得x2+1>3x”的否定是:“任意x∈R,都有x2+1≤3x”;
②“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立等价于(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”.
解析:对于①,特称命题的否定是全称命题,并把结论否定,正确;对于②,函数f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax,周期为π,则2π|2a|=π,即a=±1,故正确;对于③,x2+2x≥ax在[1,2]上恒成立,等价条件为x2+2xxmin≥a在x∈[1,2]上恒成立,故错误;对于④,“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0,且a与b不共线”,故错误.
答案:①②
三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)
17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题.
(1)若α-β=π2,则sin α=cos β;
(2)已知a,b,c,d为实数,若a≠b,c≠d,则a+c≠b+d.
解(1)逆命题:若sinα=cosβ,则α-β=π2.
否命题:若α-β≠π2,则sinα≠cosβ.
逆否命题:若sinα≠cosβ,则α-β≠π2.
(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c≠b+d,则a≠b,c≠d.
否命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d.
逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或c=d.
18.(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.
(2)任意x∈{x|x>0},x+1x≥2.
(3)存在x∈{x|x∈Z},log2x>2.
解(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(2)命题中含有全称量词“任意”,是全称命题,真命题.
(3)命题中含有存在量词“存在”,是特称命题,真命题.
19.导学号01844008(本小题满分12分)已知命题:“存在实数x∈{x|-1 (1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求a的取值范围.
解(1)由题意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,
即m的取值范围就为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=m-14≤m<2.
(2)因为x∈N是x∈M的必要条件,所以M⊆N.
当a=1时,解集N为空集,不满足题意.
当a>1时,a>2-a,此时集合N={x|2-a 则2-a<-14,a≥2,解得a>94.
当a<1时,a<2-a,此时集合N={x|a 则a<-14,2-a≥2,解得a<-14.
综上可知,a的取值范围为-∞,-14∪94,+∞.
20.(本小题满分12分)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件.
解必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.
设x1,x2为此方程的根,
若|x1-x2|=G2-4F=1,则G2-4F=1.
充分性:令y=0,则x2+Gx+F=0.
设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-G,x1x2=F.
因为G2-4F=1,
所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=G2-4F=1.
故所求的充要条件是G2-4F=1.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”.
(1)分别求命题p,q为真时,实数a的取值范围;
(2)?p是q的什么条件?请说明理由.
解(1)命题p为真,即f(x)的定义域是R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立,
等价于a=-1或a2-1>0,Δ=(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a≤-1或a>53.
故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪53,+∞.
命题q为真,即f(x)的值域是R,等价于u=(a2-1)x2+(a+1)x+1的值域为(0,+∞),
等价于a=1或a2-1>0,Δ=(a+1)2-4(a2-1)≥0,
解得1≤a≤53,
故实数a的取值范围为1,53.
(2)由(1)知?p:a∈-1,53,q:a∈1,53.
而1,53⫋-1,53,
故?p是q的必要不充分条件.
22.导学号01844009(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=|2x+3c|在[-1,+∞)上是增加的;命题q:函数g(x)=cxx2+1+2有零点.
(1)若命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;
(2)是否存在实数c,使得p∧(?q)是真命题?若存在,求出c的取值范围;若不存在,说明理由.
解因为f(x)=|2x+3c|=2x+3c,x≥-3c2,-2x-3c,x<-3c2,
所以f(x)的递增区间是-3c2,+∞.
又因为f(x)在[-1,+∞)上是增加的,
所以-3c2≤-1,解得c≥23.
因为函数g(x)=cxx2+1+2有零点,
所以方程cxx2+1+2=0有实数根,
即2x2+cx+2=0有实数根,因此c2-16≥0,
解得c≥4或c≤-4.
(1)当命题p和q均为真命题时,
应有c≥23,c≥4或c≤-4,解得c≥4.
所以c的取值范围为[4,+∞).
(2)要使p∧(?q)是真命题,应使p真q假,
因此有c≥23,-4 故存在实数c,使得p∧(?q)是真命题,此时c的取值范围为23,4.