高中数学第三章变化率与导数测评训练含解析北师大版选修1_1

第三章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于(　　)

A.4 B.4Δx

C.4+2Δx D.4+2(Δx)2

解析:=4+2Δx.

答案:C

2.若f'(x0)=-3,则=(　　)

A.-3 B.-12 C.-9 D.-6

解析:法一(注重导数概念的应用的解法):

因为f'(x0)==-3,

所以

=

=

=+3

=f'(x0)+3f'(x0)=4f'(x0)=-12,故选B.

法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):

因为f'(x0)==-3,

所以

=4=4f'(x0)=-12,故选B.

答案:B

3.数列{cn}为等比数列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)…(x-c8),f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(0)=(　　)

A.0 B.26 C.29 D.212

解析:∵c1=2,c8=4,∴c1c2…c8=84=212,f'(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-c8)+x[(x-c1)(x-c2)…(x-c8)]',则f'(0)=c1c2…c8=212.

答案:D

4.已知函数f(x)的导函数f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=(　　)

A.-e B.-1 C.1 D.e

解析:∵f(x)=2xf'(1)+lnx,

∴f'(x)=[2xf'(1)]'+(lnx)'=2f'(1)+,

∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.

答案:B

5.函数f(x)=excos x的图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为(　　)

A. B.0 C.钝角 D.锐角

解析:∵f'(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx)=excos,∴f'(3)=e3cos,

又∵cos<0,∴f'(3)<0,

∴切线的倾斜角为钝角.

答案:C

6.曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为(　　)

A.2x+y-1=0 B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y-3=0

解析:因为y'=,所以切线斜率k==-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.

答案:A

7.若函数f(x)满足f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为(　　)

A.0 B.2 C.1 D.-1

解析:f'(x)=x2-2f'(1)x-1,

所以f'(1)=1-2f'(1)-1,则f'(1)=0.

答案:A

8.函数y=ln x在x=e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)

A.e2 B.e2 C.2e2 D.e2

解析:y'=,∴在x=e2处的切线斜率为k=,∴切线方程为y-2=(x-e2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e2,∴所求三角形的面积为×1×e2=e2.

答案:B

9.已知函数f(x)=x-x2,若该函数图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角是图像在点的切线的倾斜角的两倍,则x0的值等于(　　)

A.3 B.-3 C.0 D.

解析:f'(x)=x,所以图像在点的切线的斜率k=,因此倾斜角为60°,从而图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角应为120°,斜率为-,于是x0=-,解得x0=3.

答案:A

10.函数y=(3x2+x+1)(2x+3)的导数是(　　)

A.(6x+1)(2x+3) B.2(6x+1)

C.2(3x2+x+1) D.18x2+22x+5

解析:∵y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3,∴y'=18x2+22x+5.

答案:D

11.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=50的位置关系为(　　)

A.相切

B.相交但不过圆心

C.过圆心

D.相离

解析:∵f(x)=x3+4x+5,∴f'(x)=3x2+4,

∴f'(1)=7.当x=1时,f(1)=10,

∴切线方程为y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,

∴圆心到切线的距离为d=,

∴切线与圆相交但不过圆心.

答案:B

12.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,则的值是(　　)

A.4 B.6 C.8 D.不存在

解析:

=

=-3

=-3f'(3)+

=-3f'(3)+2=8.

答案:C

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2017全国Ⅰ高考)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为　　　　　. 

解析:设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.

答案:y=x+1

14.(2017天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　　. 

解析:∵f(x)=ax-lnx,∴f'(x)=a-,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),

即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.

答案:1

15.(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为　　　　　. 

解析:∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.

答案:3

16.若曲线f(x)=x-2在点(a,a-2)(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则loa=　　　　　. 

解析:求导得f'(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=×3a-2×a=3,解得a=,

∴loa=2.

答案:2

三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)

17.(本小题满分10分)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.

解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),

所以f(t)=0,即t3+at=0.

因为t≠0,所以a=-t2.

g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.

又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,

所以f'(t)=g'(t).

而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,

所以3t2+a=2bt.

将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.

故a=-t2,b=t,c=-t3.

18.(本小题满分12分)设函数f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,求数列(n∈N+)的前n项和Sn.

解∵f'(x)=mxm-1+a=2x+1,

∴m=2,a=1,

∴f(x)=x2+x,

∴,

∴Sn=1-+…+=1-.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x,求f(x)的解析式.

解f'(x)=12x2+2ax+b,

∵y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,

∴f'(1)=-12,f(1)=-12,

∴

解得a=-3,b=-18,

∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.

20.导学号01844039(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)满足f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.

(1)求a,c,d的值.

(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f'(x)+h(x)<0.

解(1)f'(x)=ax2-x+c,

∵f(0)=0,f'(1)=0,

∴

从而f'(x)=ax2-x+-a.

∵f'(x)≥0在R上恒成立,

∴

∴解得a=,c=,d=0.

(2)由(1)知,f'(x)=x2-x+,

∵h(x)=x2-bx+,

∴不等式f'(x)+h(x)<0化为x2-x+x2-bx+<0,

即x2-x+<0,

∴(x-b)<0,

①若b>,则所求不等式的解集为;

②若b=,则所求不等式的解集为⌀;

③若b<,则所求不等式的解集为.

综上所述,当b>时,所求不等式的解集为;当b=时,所求不等式的解集为⌀;当b<时,所求不等式的解集为.

21.导学号01844040(本小题满分12分)函数f(x)=-a,x∈(0,+∞),a>0.设0<x1<,曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.

(1)求l的方程.

(2)设l与x轴交点是(x2,0),求证:

①0<x2≤;

②若x1<,则x1<x2≤.

(1)解∵f(x)=-a,x∈(0,+∞),

∴f'(x)=-.

∵切线l过点M(x1,f(x1)),其中0<x1<,

∴切线l的方程为y=-(x-x1)+-a,

即y=--a.

(2)证明①∵(x2,0)是l与x轴的交点,

∴--a=0,

∴x2=x1(2-ax1).

∵0<x1<,

∴2>2-ax1>0,

∴0<x1(2-ax1)=a-a,

当且仅当x1=时取等号,∴0<x2≤.

②∵0<x1<,∴1<2-ax1<2.

由①知x2≤,且x2=x1(2-ax1),

∴x1<x2≤.

22.导学号01844041(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.

(1)求f(x)的解析式.

(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

解(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.

当x=2时,y=.

又f'(x)=a+,

于是

解得a=1,b=3,

故f(x)=x-.

(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点.

∵f'(x0)=1+,

∴在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),

即y-(x-x0),

令x=0,得y=-,

∴切线与直线x=0的交点坐标为.

令y=x,得y=x=2x0,∴切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),

∴点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为·|2x0|=6.

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.