初中数学苏科版九年级上册2.7 弧长及扇形的面积教案

2.7弧长及扇形的面积

教学目标：

1、巩固弧长与扇形面积公式，通过实践操作，体会操作过程中弧长与扫过的扇形面积的产生过程并会求解；

2、能熟练求出弧长与扇形面积；

3、体会建模思想在求解弧长与扇形面积的重要性.

教学重点: 求弧长与扫过（扇形）的面积

教学难点：在操作过程中构建数学模型，并求弧长与扫过（扇形）的面积

教学方式：操作启发式

教学流程：

请欣赏老师课间拍摄的场景（一同学转笔的情景），由此老师想到一个数学问题.（板书课题：弧长与扇形面积）

1. 线段的旋转

    活动1 一支长为16cm笔,在同一平面上固定一端，将其旋转90°，则另一端经过的路径长是_________.这支笔扫过的面积是_________.

    变式：一支长16cm的笔在同一平面内的一条直线上连续翻滚3次，则点A经过的路径长?翻滚4次，点A经过的路径长？5次呢？ 这支笔扫过的面积?  

   【设计意图】通过这几个小题，一方面复习弧长与扇形面积，另一方面也让学生体会在操作过程中所产生的弧长与扇形面积数学建模思想在数学学习中的作用.

总结：

（1）在操作过程中要注意虽然抽象出的线段在无滑动的旋转，但对于点A来说某个过程中路径为0；

（2）线段扫过的面积与点A经过的路径无关系，应重新构建图形.

（3）线段扫过的面积应是3个半圆面积和减去两个重合部分.

2.直角三角形的旋转

    活动2 直角三角形的斜边AB在直线l上，AC =5 , AB =10,将Rt△ABC在同一平面内无滑动的翻滚，翻滚几次后斜边AB仍在这条直线上？

问题2、若翻滚3次，点A经过的路线与直线l所围成的面积是多少？

问题3、如果旋转36次A点走过的路径长？37次呢？38次呢？

【设计意图】通过三角形的三次翻滚，找出点A的路径和点A经过的路线与直线l所围成的面积，目的就是要从较复杂的图形中寻找基本图形（线段的旋转），也就是找准旋转中心、半径和旋转角，让学生深刻体会从简单到复杂、从特殊到一般的数学研究方法，并且体会数学方法的多样性.

总结：

（1）研究问题要找准对象点A，第一次旋转中心是点B，半径是AB，第二次旋转中心是点C,半径是AC，第三次旋转中心是点A，半径是AB(点A无路径），因此点A的路径就是前两段弧长和.

（2）点A经过的路线与直线l所围成的面积不仅仅是两扇形的面积和还有一个直角三角形的面积，学生容易忽略.

（3）无论是求弧长还是路径与直线围成的面积关键抓住三点，旋转中心、半径和旋转角度.

    变式：等边三角形的旋转

    活动3 如图：将边长为1的等边三角形ABC在同一平面内无滑动的翻滚使边AB仍在这条直线l上，则点A经过的路径长？

   活动4

 如果是边长为1的正方形做如此运动，点A的路径是多长？      

   如果是边长为1的正六边形做如此运动，你会有什么样的猜想呢？（旋转角度始终都是60度，半径是三种情况）

【设计意图】通过变式练习，引导学生用类比学习法解决不同的问题.对于结果要大胆的猜想，并且证明，鼓励学生创新！

 活动5

 直角三角形ABC，AC =5 , AB =10,将Rt△ABC绕点A在同一平面内旋转一周，线段BC扫过的面积？

问题： 绕点B在同一平面内旋转一周，线段AC扫过的面积?

变式： 绕点C在同一平面内旋转一周，线段AB扫过的面积?

【设计意图】以2个小题为铺垫引入变式训练，以小组合作的方式讨论出线段绕着非线段上的点旋转，线段所扫过的面积.目的是培养学生的敏锐观察力和思维力.

3.  画龙需点睛，认知获内化

 ①通过本节课的学习，你学会了哪些知识？

 ②通过本节课的学习，你最大的体验是什么？

   ③通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？积累了怎样的活动经验？

4.   数学小习作，感悟话心得

    结合本节课学习，小结一下本堂课中的发现与学习经验，可以自编一道习题，写一篇“学生小论文”.