高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线1 椭圆1.2 椭圆的简单几何性质课后作业题

第二章圆锥曲线

§1　椭圆

1.2　椭圆的简单几何性质

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.

2.过椭圆=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 (　　)

A.8,6 B.4,3 

C.2, D.4,2

答案B

解析由题意知a=2,b=,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍,长度为3.

3.已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴,椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等,则(　　)

A.a2=25,b2=16

B.a2=9,b2=25

C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25

D.a2=25,b2=9

答案D

解析椭圆=1的长轴长为10,

椭圆=1的短轴长为6,

由题意可知椭圆=1的焦点在x轴上,

即有a=5,b=3.所以a2=25,b2=9.

4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为(　　)

A. B. 

C.2 D.4

答案B

解析因为椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,短半轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故=2,解得m=.

5.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案A

解析依题意得c=2,a+b=10,又a2=b2+c2,所以解得a=6,b=4,椭圆的标准方程为=1.

6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过点C,D的椭圆的离心率为　　　　. 

答案

解析如图,AB=2c=4,

∵点C在椭圆上,

∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,

∴e=.

7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为　　　　. 

答案(2,4]

解析∵e=,b=1,0<e≤,

∴0<,

则1<a≤2,∴2<2a≤4,

即长轴长的取值范围是(2,4].

8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M,求椭圆C的离心率.

解2a=|MF1|+|MF2|=.所以a=.又由已知c=1,所以椭圆C的离心率e=.

等级考提升练

9.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为              (　　)

A.-1 B.2-

C. D.

答案A

解析∵过F1的直线MF1是圆F2的切线,

∴∠F1MF2=90°,|MF2|=c,∵|F1F2|=2c,

∴|MF1|=c,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+c=2a,∴椭圆离心率e=-1.

10.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是(　　)

A. B.

C. D.-

答案C

解析椭圆方程可化简为=1,

由题意,知m>0,∴,∴a=,

∴椭圆的长轴长2a=.

11.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案A

解析由题意,知当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,只有选项A符合题意,故选A.

12.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为(　　)

A. B.  

C. D.

答案C

解析点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,

则|OM|==3,

当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3.

所以e=.故选C.

13.(多选题)如图,已知F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是该椭圆在第一象限内的点,∠F1PF2的平分线交x轴于Q点,且满足=4,则椭圆的离心率e可能是(　　)

A. B. 

C. D.

答案CD

解析∵=4,∴||=c,||=c,

则∣∣=c.

∵PQ是∠F1PF2的平分线,

∴,

又|PF1|+|PF2|=2a,

∴|PF1|=,|PF2|=.

在△PF1F2中,

由余弦定理得cos∠F1PF2=e2,

∵-1<cos∠F1PF2<1,∴-1<e2<1,

解得<e<1.故选CD.

14.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为　　　　　　. 

答案=1

解析设椭圆方程为=1(a>b>0),由e=,知,故.由于△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故a=4,∴b2=8,∴椭圆C的方程为=1.

15.如图,把椭圆=4的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　　　　　. 

答案28

解析根据题意,把椭圆=4的长轴AB分成8等份,设另一焦点为F2,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余两对的和也是2a.又|P4F|=a,

∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.

16.(1)求与椭圆=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

解(1)∵c=,

∴所求椭圆的焦点为(-,0),(,0).

设所求椭圆的方程为=1(a>b>0).

∵e=,c=,

∴a=5,b2=a2-c2=20,

∴所求椭圆的方程为=1.

(2)∵椭圆的焦点在x轴上,

∴设它的标准方程为=1(a>b>0).

∵2c=8,∴c=4,

又a=6,∴b2=a2-c2=20.

∴椭圆的方程为=1.

新情境创新练

17.椭圆=1(a>b>0)上有一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上,且QF1⊥QP,sin ∠F1PQ=,则该椭圆离心率的取值范围是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

答案D

解析∵QF1⊥QP,∴点Q在以F1F2为直径,原点为圆心的圆上,∵点Q在椭圆的内部,

∴以F1F2为直径的圆在椭圆内,

∴c<b.

∴c2<a2-c2,∴e2<,故0<e<.

∵sin∠F1PQ=,∴cos∠F1PQ=.

设|PF1|=m,|PF2|=n,

则|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·.

∴4c2=(m+n)2-2mn-2mn·,

即4c2=4a2-mn,∴mn=(a2-c2).

由基本不等式得mn≤=a2,

当且仅当m=n时取等号,

由题意知QF1⊥QP,

∴m≠n,∴mn<=a2,

∴(a2-c2)<a2,∴a2<26c2.

故e2>,∴e>,综上可得<e<.