2021学年3.2 抛物线的简单几何性质习题

第二章圆锥曲线

§3　抛物线

3.2　抛物线的简单几何性质

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为 (　　)

A. B.- C.4 D.-4

答案B

解析由y=ax2,变形得x2=y,∵抛物线的准线方程是y=1,

∴-=1,解得a=-.

2.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案A

解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,

∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,

则P(3,±2),

∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,

∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.

3.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.0

答案B

解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,

因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,

所以当x=0时,z最小,其最小值为3.

4.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为(　　)

A.18 B.24 C.36 D.48

答案C

解析不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),

依题意,l⊥x轴,且焦点F,0,

∵当x=时,|y|=p,

∴|AB|=2p=12,∴p=6,

又点P到直线AB的距离为=p=6,

故S△ABP=|AB|·p=×12×6=36.

5.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是(　　)

A.1 B.2 C.0 D.无数个

答案B

解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,

又焦点F,0,

由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,

这样的交点共有2个,

故过点F,M且与l相切的圆有2个.

6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　. 

答案6

解析抛物线的焦点坐标F0,,准线方程为y=-,代入=1得|x|=.要使△ABF为等边三角形,则tan,解得p2=36,p=6.

7.抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是　　　　. 

答案4

解析由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,∵直线AF的斜率为,∴AF的倾斜角为30°.∵直线AH垂直于准线,

∴∠FAH=60°,故△AHF为等边三角形.设Am,,m>0,过F作FM⊥AH于点M,则在△FAM中,|AM|=|AF|,∴-1=+1,解得m=2,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,∴△AHF的面积是×4×4sin60°=4.

8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.

解设所求抛物线的标准方程为

x2=2py(p>0),

设A(x0,y0),由题意知M0,-,

∵|AF|=3,∴y0+=3,

∵|AM|=,∴+y0+2=17,

∴=8,代入方程=2py0得,

8=2p3-,解得p=2或p=4.

∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.

等级考提升练

9.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)

A.(6,+∞) B.[6,+∞)

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

答案D

解析∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,

∴=3,即p=6.

又抛物线上的点到准线距离的最小值为,

∴抛物线上的点到准线距离的取值范围是[3,+∞).

10.已知抛物线C的焦点是双曲线x2-y2=1的焦点中的一个,且顶点在原点,则抛物线C的标准方程是 (　　)

A.y2=±2x 

B.y2=±2x

C.y2=±4x 

D.y2=±4x

答案D

解析由已知可知双曲线的焦点为(-,0),(,0).

设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则,

所以p=2,所以抛物线方程为y2=±4x.故选D.

11.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

解析依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,0,所以x1+x2+x3=3×,则||+||+||=x1++x2++x3+=(x1+x2+x3)+=3.

12.过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A.y2=12x B.y2=-12x

C.x2=-12y D.x2=12y

答案D

解析由已知条件,过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.

13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为　　　　　. 

答案2

解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,

∴+2p(x2-x1)=0,

即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.

又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.

根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,

由△OAB为等边三角形,

不妨设直线OB的方程为y=x,

由解得B(6p,2p),

∴|OB|==4p,

∵△OAB的面积为48,

∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2.

14.已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上两点,若△AFB是等边三角形,则△AFB的边长为　　　　. 

答案8+4或8-4

解析由题意可知点A,B一定关于x轴对称,且AF,BF与x轴夹角均为30°,由于y2=4x的焦点为(1,0),由化简得y2-4y-4=0,解得y1=2+4,y2=2-4,

所以△AFB的边长为8+4或8-4.

新情境创新练

15.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.

(1)求y1y2的值;

(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.

(1)解依题意,设直线AB的方程为x=my+2,

代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.

(2)证明设M(x3,y3),N(x4,y4),

,

设直线AM的方程为x=ny+1,

代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,

所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,

=-,

由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.