高中数学5.2 三角函数的概念教学ppt课件

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1.借助单位圆理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(数学抽象)2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(数学运算)3.能利用三角函数的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.(数学抽象)4.通过对任意角三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.(数学运算)
[激趣诱思]摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱.乘客坐在摩天轮座舱中慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.“天津之眼”是世界上唯一的桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一.摩天轮直径为110米,轮外装挂48个360度透明座舱,可同时供384个人观光,摩天轮旋转一周所需时间为28分钟.若你现在坐在座舱里,从某初始位置出发,过2分钟后,你离地面的高度是多少?过5分钟呢?过t分钟呢?这是一个函数关系吗?有什么特点?
知识点一:三角函数的概念1.概念
2.三角函数的解析式和定义域如下表所示.
知识点二:三角函数值的符号sin α,cs α,tan α在各个象限的符号如下:
记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦.”名师点析 正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.
微练习判断下列各三角函数值的符号:
知识点三:诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.(2)式子表示:①sin(α+k·2π)=sin α,②cs(α+k·2π)=cs α,③tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z.
(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cs α-sin α=　　　　　. 分析(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.
(3)∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,
反思感悟 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin α=y,cs α=x,(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
例2(1)若sin αtan α<0,且 <0,则角α是(　　)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:①sin 105°cs 230°;　②cs 3tan .
分析(1)由已知条件确定出sin α,cs α的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.
(1)答案 C解析 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二、第三象限角.由 <0可知cs α,tan α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.(2)解 ①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin 105°>0,cs 230°<0.于是sin 105°cs 230°<0.
变式训练1(1)已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cs α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(　　)A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]
答案 (1)D　(2)A
反思感悟 判断三角函数值在各象限符号的攻略:(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
例3求下列各式的值:(1)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcs(-1 080°);
解 (1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcs(-3×360°)=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcs 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
反思感悟 诱导公式一的应用策略:(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π角的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π角的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.
变式训练2求下列三角函数值:
单位圆和正射影1.单位圆半径为1的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0),A'(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1),B'(0,-1),如图.
2.正射影设单位圆的圆心与坐标原点重合,角α的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点P(如图),过点P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴、y轴上的正射影,简称射影.由三角函数的定义可知,点P的坐标为(cs α,sin α),其中cs α=OM,sin α=ON.这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
1.若sin α<0,且tan α>0,则α是(　　)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 C
3.若tan θsin2θ<0,则角θ在(　　)A.第一象限B.第二象限C.第二象限或第四象限D.第二象限或第三象限答案 C解析 因为tan θsin2θ<0,所以tan θ<0,于是角θ在第二象限或第四象限.
6.判断下列各式的符号:(1)tan 120°sin 269°;
解 (1)∵120°是第二象限角,∴tan 120°<0.∵269°是第三象限角,∴sin 269°<0.∴tan 120°sin 269°>0.