高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念获奖第1课时教学设计

课题：5.2.1 三角函数的概念教学设计（第1课时 ）

（一）教学内容

任意角的三角函数概念.

（二）教学目标

通过数学抽象，能够将匀速圆周运动归结到单位圆上的点的运动规律的刻画，借助单位圆上点的坐标定义三角函数，进而建立三角函数的概念， 体会数形结合思想方法的作用，发展直观想象、数学抽象等核心素养.

（三）教学重点及难点

1.教学重点：任意角的三角函数概念.

2.教学难点：如何建立任意角的三角函数概念.

（四）教学过程设计

引导语 ：现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表，如右图1所示,☉上的点以为起点做逆时针旋转,在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数，能否建立一个函数模型，刻画点的位置变化情况?

师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，在已有的研究函数的经验基础上能够给出研究路径：明确研究背景--对应关系的特点分析--下定义--性质.

追问：要解决这个问题，我们需要什么工具？

学生能够说出建立函数模型,需要利用直角坐标系，并先研究单位圆上点的运动，

如图，以单位圆的圆心为坐标原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标是，点的坐标是. 把该问题抽象为一个质点从点开始在单位圆上的运动.

问题1：当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.利用勾股定理可以发现，当 =时，点的坐标是；当或时，点的坐标分别是(0，1)和．它们都是唯一确定的．

设计意图：先研究特殊角下点坐标，再研究任意角下点坐标.体现由特殊到一般的思想.

问题2：一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？

师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.因为单位圆的半径不变，点的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点的坐标是也唯一确定.

追问1：用GGB动态展示角变化的过程，观察角的终边与单位圆的交点的坐标，有什么发现？能运用函数的语言刻画这种对应关系吗？

师生活动：对任意一个实数，它的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是唯一确定的，有如下对应关系：

任意角(弧度)→ 唯一实数；

任意角(弧度)→ 唯一实数．　

一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标，还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数.

设计意图:以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.

问题3：通过阅读教科书第177-178页，你能给出三角函数的定义吗？

师生活动：教师给出图示，学生结合图中信息给出三个定义，设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点，那么把点的纵坐标叫做的正弦函数，记做，即；

把点的横坐标叫做的余弦函数，记做，即；

把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即.

可以看出，当 =（）时，的终边在 轴上，这时点 的横坐标 x 等于0，所以= 无意义．除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，= （x≠0）也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．

追问1：符号，和分别表示什么？在之前有过类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？

学生独立思考，能回忆并类比已有知识，（引入符号）理解三角函数符号的意义.

追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么呢?

学生进行讨论.正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即，对于正切函数而言，要求点的横坐标，即角的终边不能位于轴上，那么正切函数的定义域为.

设计意图：在问题的引导下，通过阅读教科书使学生对三角函数定义有更深刻的理解.

问题4: 任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？

师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

按照函数的定义与常用的符号，我们通常将它们记为

正弦函数 y = sinx，x∈R；

余弦函数 y = cosx，x∈R；

正切函数 y = tanx，x≠（）

将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

追问1：这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?

师生活动：任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数.

设计意图：引导学生将任意角三角函数纳入到函数中，丰富学生对三角函数的认知，另外，注意任意角为轴线角的特殊情况，让学生更全面地认识任意角的三角函数，体现数学的严谨性.

问题5：求的正弦、余弦和正切值.

师生活动：先由学生说思路，再引导从学生回归三角函数定义总结求三角函数值的基本步骤，完成解答.                                                         

 解：在直角坐标系中，作，此时的终边与单位圆的交点的坐标为，

所以

设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.

问题6：如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为.

求证：， ，

师生活动：给出问题后，教师可以引导学生分析以下问题，再让学生给出证明思路.

①你能根据三角函数的定义作图表示和吗？

②在你所作的图形中，， ，表示什么？你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗？

解：设角的终边与单位圆交于点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，

则，

   .

 所以得到,   即.

 因为与同号，所以，即.

同理可证： ，.

设计意图：通过问题引导，使学生找到、，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.

（五）课堂小结 

问题7：你怎样建立三角函数的概念？如何理解三角函数符号的意义？经历三角函数概念的学习过程你体会到了哪些数学思想？

 师生活动：学生回答，若不完整，再请其他的同学进行补充．

设计意图：回顾本节课所学内容和学习过程，感悟本节课涉及的数学思想方法，交流分享关于本节课的收获.

（六）目标检测设计

1.求π的正弦、余弦和正切值．

 [解析]　在直角坐标系中作∠AOB＝π，如图．

∠AOB的终边OB与单位圆的交点B.

坐标为，

∴sinπ＝－，cosπ＝－，tanπ＝.

2．若角的终边经过点P(5，－12)，则sin＝________，cos＝________，tan＝________.

解析：∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，

则sin＝＝－，cos＝＝，tan＝＝－.

设计意图：通过课堂达标练习，让学生及时巩固所学，让学生理解任意角的三角函数定义，培养数学抽象的核心素养.