2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷人教新课标A版

这是一份2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. sin240∘的值为（ ）
A.12B.−12C.32D.−32

2. 已知函数，则f(x)在区间[2, 6]上的最大值为（ ）
A.B.3C.4D.5

3. 函数f(x)＝cs2x−sin2x是（ ）
A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数

4. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，a＝3，c＝4，则sinA＝（ ）
A.B.C.D.

5. 已知角α的终边上一点坐标为P(3, −4)，则＝（ ）
A.B.C.D.

6. 与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A.B.C.D.

7. 函数f(x)=ln|x|⋅csxx+sinx在[−π, 0)∩(0, π]的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.

8. 若sinα＝2csα，则cs2α＝（ ）
A.B.C.D.

9. 已知点P(a, b)在函数图象上，且a>0，b>0，则lna⋅lnb的最大值为（ ）
A.0B.C.1D.2

10. 已知点在函数f(x)＝cs(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象上，直线是函数f(x)图象的一条对称轴．若f(x)在区间内单调，则φ＝（ ）
A.B.C.D.

11. 下列命题中正确的是（ ）
A.已知a，b是实数，则“”是“lg3a>lg3b”的必要不充分条件
B.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A＝45∘，a＝14，b＝16，则△ABC有两解
C.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acsA＝bcsB，则△ABC为直角三角形
D.已知A，B都是锐角，且A+B≠，(1+tanA)(1+tanB)＝2，则A+B＝

12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，−π<φ<−）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.ω＝2，
B.函数f(x)图象的对称轴为直线
C.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）即得到y＝f(x)的图象
D.若f(x)在区间上的值域为，则实数a的取值范围为
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.

sin72∘cs42∘−cs72∘sin42∘＝________．

已知函数f(x)满足f(x−1)＝lgx，则不等式f(x)<0的解集为________．

已知函数f(x)＝x2−2|x|+4定义域为[a, b]，其中a
已知△ABC，∠BAC＝120∘，，AD为∠BAC的角平分线，则
(ⅰ)△ABC面积的取值范围为________．
(ⅱ)的最小值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.

已知．
（1）化简f(θ)；

（2）已知，且，求sinθ的值．

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a−b＝bcsC．
（1）求的值；

（2）若a＝2，b＝3，求c．

已知函数，x∈R．
（1）求函数f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；

（2）若，且，，求α+β的值．

某校新校区有一块形状为平面四边形ABCD的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，AB=3（百米），AD=DC=1（百米）．

(1)若∠C=120∘，BD=3（百米），求平面四边形ABCD的面积；

(2)若BC=1（百米）．
(i)证明：3cs∠BAD=1+cs∠BCD；
(ii)若△ABD，△BCD面积依次为S1，S2，求S12+S22的最大值．

已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f(x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g(x)为奇函数．

（1）求f(x)的解析式，并画出f(x)在区间[0, π]上的图象；

（2）若关于x的方程3[g(x)]2+m⋅g(x)+2＝0在区间上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)＝ex，．
（1）若g(x)为偶函数，求a的值；

（2）在（1）基础上，若∀x1∈(0, +∞)，∃x2∈R，使得f(2x1)+mf(x1)−g(x2)>0成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.前10题为单选题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的；第11题，12题为多项选择题，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
1.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】
sin240∘＝sin(180∘+60∘)＝−sin60∘=−32，
2.
【答案】
C
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
求出函数f(x)的单调区间，根据函数的单调性求出f(x)的最大值即可．
【解答】
f(x)＝＝2+，
f(x)在[2, 6]递减，
故f(x)max＝f(2)＝2+＝4，
3.
【答案】
A
【考点】
余弦函数的对称性
三角函数的周期性
【解析】
利用二倍角的余弦函数化简表达式，求出周期判断奇偶性即可．
【解答】
函数f(x)＝cs2x−sin2x＝cs3x，函数的偶函数．
4.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】
∵ ，a＝7，
∴ 由正弦定理可得sinA＝＝＝．
5.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
先利用三角函数的定义求出tanα，再利用两角和的正切公式求解即可．
【解答】
因为角α的终边上一点坐标为P(3, −4)，
所以，
所以＝．
6.
【答案】
D
【考点】
正切函数的图象
【解析】
令2x−＝kπ+，求得x的值，可得结论．
【解答】
对于函数，令6x−，求得x＝+，
令k＝−8，可得x＝-，
7.
【答案】
D
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．
【解答】
∵ f(−x)=ln|x|⋅csx−x−sinx=−f(x)，
∴ 函数f(x)为奇函数，
又∵ f(±1)=0,f(±π2)=0,f(π3)>0,f(π)<0，
∴ 选项D符合题意．
8.
【答案】
A
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值，再利用二倍角公式，求得要求式子的值．
【解答】
∵ sinα＝2csα，∴ tanα＝2，
则cs7α＝＝＝＝-，
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
由点P在函数y＝上，可得lna+lnb＝2，再由重要不等式可得lna⋅lnb≤＝1，（当且仅当lna＝lnb，即a＝b时，取等号），即可得出答案．
【解答】
因为点P(a, b)在函数y＝上，
所以b＝，即lnb＝7−lna，
所以lna+lnb＝2，
所以lna⋅lnb≤＝1，即a＝b时，
所以lna⋅lnb的最大值为1，
10.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的图象
【解析】
由题意根据函数的单调区间，得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系求出φ即可．
【解答】
由题意得，-＝≥＝，得≤，得ω≥4，
•≥-，∴ ω≤6．
综上可得，4≤ω≤3．
当ω＝4时，cs(4•，得φ＝kπ+，
又0<φ<π，所以φ＝，
此时，直线x＝）的图象的一条对称轴，．
所以φ＝．
当ω＝3时，cs(5×，可得φ＝kπ+，
又7<φ<π，所以φ＝，
此时，cs(5×+，故直线x＝．
当ω＝5时，cs(6×，得φ＝kπ+，
又7<φ<π，所以φ＝，
此时，cs(6×+，不是最值，
所以直线x＝不是函数f(x)的图象的一条对称轴．
综上，可得ω＝4，
11.
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
正弦定理
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
对于A，“”⇒a>b，当0>a>b或a>0>b时，lg3a>lg3b不成立；反之，lg3a>lg3b⇒a>b⇒，从而“”是“lg3a>lg3b”的必要不充分条件；
对于B，由正弦定理得A＝45∘，a＝14，b＝16，则△ABC有两解；对于C，△ABC为等腰三角形；对于D，推导出tan(A+B)＝＝1，由A，B都是锐角，得A+B＝．
【解答】
对于A，a，b是实数”⇒a>b，
当a>b>0时，lg3a>lg3b，
当0>a>b或a>7>b时，lg3a>lg3b不成立；
反之，lg6a>lg3b⇒a>b⇒，
∴ “”是“lg3a>lg3b”的必要不充分条件，故A正确；
对于B，在△ABC中，B，C所对应的边分别为a，b，c，
若A＝45∘，a＝14，则由正弦定理得：
＝，解得sinB＝＝，
或∠B＝，
∴ △ABC有两解，故B正确；
对于C，在△ABC中，B，C所对应的边分别为a，b，c，
若acsA＝bcsB，则a×，
整理得：(a2+b2+c2)(b2−a2)＝8，
∴ a＝b，∴ △ABC为等腰三角形；
对于D，∵ A，且A+B≠，
∴ 1+tanA+tanB+tanAtanB＝5，
∴ ＝1，
∴ tan(A+B)＝＝1，
∵ A，B都是锐角，故D正确．
12.
【答案】
A,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】
根据函数f(x)＝Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0）的部分图象，
可得A＝2，•＝+，∴ ω＝2．
再根据五点法作图，2×，∴ φ＝-π，
故f(x)＝2sin(2x−），故 A正确；
由于x＝为函数的图象的一条对称轴＝π，
故对称轴方程为 x＝+，k∈Z；
将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，
可得到y＝2sin(7x−）的图象；
若f(x)在区间上的值域为，
由x∈[，a]∈[]，
再根据3sin(2x−）值域为[−2，]，
∴ 2a−∈[，]，]，故D正确，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.
【答案】
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
根据两角差的正弦公式，计算即可．
【解答】
sin72∘cs42∘−cs72∘sin42∘
＝sin(72∘−42∘)
＝sin30∘
＝．
【答案】
(−1, 0)
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
根据题意，利用换元法分析可得f(x)＝lg(x+1)，则f(x)<0即lg(x+1)<0，则有0【解答】
根据题意，f(x−1)＝lgx＝lg[(x−1)+3]，
f(x)<0即lg(x+1)<3，则有0解可得：−1【答案】
(1, 4)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意画出图形，结合函数值域可得a的范围，由此可得函数在[a, b]上为增函数，再由定义域与值域的关系列式求得满足条件的数组(a, b)．
【解答】
作出函数f(x)＝x2−2|x|+4的图象如图：
∵ 函数值域为[3a, 3b]，即a≥3．
则函数在[a, b]上为增函数，
∴ ，解得．
∴ 满足条件的数组(a, b)为(5．
【答案】
,9
【考点】
三角形的面积公式
正弦定理
解三角形
【解析】
(ⅰ)由三角形的余弦定理和面积公式，结合基本不等式可得所求范围；
(ⅱ)由S△ABC＝S△ABD+S△DAC，结合三角形的面积公式，可得AD，再由基本不等式计算可得所求最小值．
【解答】
(ⅰ)可设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
可得a2＝b2+c6−2bccsA＝b2+c4−2bc⋅(−）≥2bc+bc＝3bc，
即有bc≤a2＝×12＝4，
则S△ABC＝bcsinA＝≤×4＝，
所以△ABC面积的取值范围为(0，]；
(ⅱ)由S△ABC＝S△ABD+S△DAC，
可得bcsin120∘＝b⋅AD⋅sin60∘，
化为bc＝，
即为AD＝，
所以＝＝＝++5≥8，
当且仅当c＝2b时，取得等号，
则的最小值为9．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
【答案】
f(θ)＝＝＝−csθ．
因为f(θ−）＝−cs(θ−，
所以cs(θ−）＝-；
又，所以<，
所以sin(θ−）＝＝，
所以sinθ＝sin[(θ−）+]
＝sin(θ−）cs）sin
＝×+（-
＝．
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）利用三角函数诱导公式和同角三角函数关系式化简即可．
（2）由同角三角函数关系式和三角恒等变换，求值即可．
【解答】
f(θ)＝＝＝−csθ．
因为f(θ−）＝−cs(θ−，
所以cs(θ−）＝-；
又，所以<，
所以sin(θ−）＝＝，
所以sinθ＝sin[(θ−）+]
＝sin(θ−）cs）sin
＝×+（-
＝．
【答案】
因为a−b＝bcsC，
可得：sinA−sinB＝sinBcsC，
可得：sinBcsC+csBsinC−sinB＝sinBcsC，
可得：csBsinC＝sinB，即sinC＝tanB，
可得：＝1．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知等式，可得sinA−sinB＝sinBcsC，进而根据两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）由已知可求csC的值，进而根据余弦定理即可求解c的值．
【解答】
因为a−b＝bcsC，
可得：sinA−sinB＝sinBcsC，
可得：sinBcsC+csBsinC−sinB＝sinBcsC，
可得：csBsinC＝sinB，即sinC＝tanB，
可得：＝1．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【答案】
函数
＝2sinx⋅（csx+
＝sinxcsx+sin2x−
＝sin2x+×-
＝sin2x−
＝sin(2x−）；
令2kπ−≤2x−，k∈Z；
解得kπ−≤x≤kπ+；
所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−，kπ+]；
令2x−＝kπ，解得x＝+；
所以f(x)的对称中心坐标是（+，7)；
由题意知，f（++）-，
且α∈(0，），所以csα＝＝；
又f（+）＝sin[2（+]＝sin(β+，
且β∈(0，），所以sinβ＝＝＝；
又α+β∈(0, π)，
所以cs(α+β)＝csαcsβ−sinαsinβ＝×-×＝-，
所以α+β＝．
【考点】
两角和与差的三角函数
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
（1）化函数f(x)为正弦型函数，再求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；
（2）由题意求出sinα、csα和csβ、sinβ的值，再求cs(α+β)的值，从而求得α+β的值．
【解答】
函数
＝2sinx⋅（csx+
＝sinxcsx+sin2x−
＝sin2x+×-
＝sin2x−
＝sin(2x−）；
令2kπ−≤2x−，k∈Z；
解得kπ−≤x≤kπ+；
所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−，kπ+]；
令2x−＝kπ，解得x＝+；
所以f(x)的对称中心坐标是（+，7)；
由题意知，f（++）-，
且α∈(0，），所以csα＝＝；
又f（+）＝sin[2（+]＝sin(β+，
且β∈(0，），所以sinβ＝＝＝；
又α+β∈(0, π)，
所以cs(α+β)＝csαcsβ−sinαsinβ＝×-×＝-，
所以α+β＝．
【答案】
解：(1)令BC=x，
在△BCD中，由余弦定理可得：3=1+x2−2×1×x×cs120∘，
即x2+x−2=0，解得：x=1或x=−2（舍），
在△BCD中，BC=CD=1，∠C=120，
所以S△BCD=12×1×1×sin120∘=34，
在△ABD中，AB=BD=3，AD=1，
所以AD边上的高为3−122=112，
所以S△ABD=12×1×112=114，
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=3+114（平方百米）．
(2)(i)在△ABD中，BD2=AB2+AD2−2×AB×AD×cs∠BAD
=4−23cs∠BAD，
在△BCD中，BD2=BC2+CD2−2×BC×CD×cs∠BCD
=2−2cs∠BCD，
所以4−23cs∠BAD=2−2cs∠BCD，
所以3cs∠BAD=1+cs∠BCD.
(ii)S12=12×1×3×sin∠BAD2
=34sin2∠BAD=341−cs2∠BAD，
S22=12×1×1×sin∠BCD2
=14sin2∠BCD=141−cs2∠BCD，
所以S12+S22=143−3cs2∠BAD+1−cs2∠BCD
=144−1+cs∠BCD2−cs2∠BCD
=14−2cs2∠BCD−2cs∠BCD+3，
因为3cs∠BAD=1+cs∠BCD，
所以−3<1+cs∠BCD<3，
可得−1所以S12+S22=14−2cs∠BCD+122+72
=−12cs∠BCD+122+78，
所以cs∠BCD=−12时，S12+S22max=78，
即∠BCD=2π3时，S12+S22取得最大值，且最大值为78平方百米．
【考点】
余弦定理的应用
三角形的面积公式
诱导公式
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）由已知利用余弦定理可求得BC的值，可求csA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．
(2)(ⅰ)分别在△ABD，△BCD中应用余弦定理可得，化简即可得证．
(ii)利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：(1)令BC=x，
在△BCD中，由余弦定理可得：3=1+x2−2×1×x×cs120∘，
即x2+x−2=0，解得：x=1或x=−2（舍），
在△BCD中，BC=CD=1，∠C=120，
所以S△BCD=12×1×1×sin120∘=34，
在△ABD中，AB=BD=3，AD=1，
所以AD边上的高为3−122=112，
所以S△ABD=12×1×112=114，
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=3+114（平方百米）．
(2)(i)在△ABD中，BD2=AB2+AD2−2×AB×AD×cs∠BAD
=4−23cs∠BAD，
在△BCD中，BD2=BC2+CD2−2×BC×CD×cs∠BCD
=2−2cs∠BCD，
所以4−23cs∠BAD=2−2cs∠BCD，
所以3cs∠BAD=1+cs∠BCD.
(ii)S12=12×1×3×sin∠BAD2
=34sin2∠BAD=341−cs2∠BAD，
S22=12×1×1×sin∠BCD2
=14sin2∠BCD=141−cs2∠BCD，
所以S12+S22=143−3cs2∠BAD+1−cs2∠BCD
=144−1+cs∠BCD2−cs2∠BCD
=14−2cs2∠BCD−2cs∠BCD+3，
因为3cs∠BAD=1+cs∠BCD，
所以−3<1+cs∠BCD<3，
可得−1所以S12+S22=14−2cs∠BCD+122+72
=−12cs∠BCD+122+78，
所以cs∠BCD=−12时，S12+S22max=78，
即∠BCD=2π3时，S12+S22取得最大值，且最大值为78平方百米．
【答案】
∵ 图象两相邻对称轴之间的距离是，
∴ T＝π，∴ ω＝2，
∴ f(x)＝cs(4x+φ)
又∵
∴ ，
列表：
图象如图所示
（请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确，若有不符
由（1）知g(x)＝sin2x，
∵ 令t＝g(x)＝sin2x∈[5，
∴ 可得关于t的方程3t2+mt+3＝0在[0, 5]上有一解．
令ℎ(t)＝3t2+mt+6
∵ ℎ(0)＝2>0，则需满足ℎ(1)<5或，
得m<−5或m＝−2，
即实数m的取值范围是m<−5或m＝−5．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
（1）根据条件求出函数f(x)的解析式，结合五点法进行作图即可．
（2）利用换元法将条件进行转化，结合一元二次方程根的分布进行转化求即可．
【解答】
∵ 图象两相邻对称轴之间的距离是，
∴ T＝π，∴ ω＝2，
∴ f(x)＝cs(4x+φ)
又∵
∴ ，
列表：
图象如图所示
（请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确，若有不符
由（1）知g(x)＝sin2x，
∵ 令t＝g(x)＝sin2x∈[5，
∴ 可得关于t的方程3t2+mt+3＝0在[0, 5]上有一解．
令ℎ(t)＝3t2+mt+6
∵ ℎ(0)＝2>0，则需满足ℎ(1)<5或，
得m<−5或m＝−2，
即实数m的取值范围是m<−5或m＝−5．
【答案】
因为函数g(x)的定义域为R，若g(x)为偶函数，
所以对∀x∈R都有g(−x)＝g(x)，
所以ln（+aex)＝ln(ex+），
所以(ex−）(7−a)＝0．
，“＝”取得当且仅为x＝0时，
由题意：∀x1∈(6, +∞)2∈R，使得f(2x2)+mf(x1)>g(x2)成立
即∀x4∈(0, +∞)，​3∈(0, +∞)恒成立
令，则t>3且
设，易知ℎ(t)在(1
所以ℎ(t)所以m的取值范围为[ln5−1, +∞)．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）因为函数g(x)的定义域为R，根据偶函数的定义，可得对∀x∈R都有g(−x)＝g(x)，解得a．
（2）先求出g(x)的最小值ln2，问题转化为∀x1∈(0, +∞)，，只需m>（−e）​max，即可得出答案．
【解答】
因为函数g(x)的定义域为R，若g(x)为偶函数，
所以对∀x∈R都有g(−x)＝g(x)，
所以ln（+aex)＝ln(ex+），
所以(ex−）(7−a)＝0．
，“＝”取得当且仅为x＝0时，
由题意：∀x1∈(6, +∞)2∈R，使得f(2x2)+mf(x1)>g(x2)成立
即∀x4∈(0, +∞)，​3∈(0, +∞)恒成立
令，则t>3且
设，易知ℎ(t)在(1
所以ℎ(t)所以m的取值范围为[ln5−1, +∞)．x
4
π
0
π
1
3
−1
0
x
4
π
0
π
1
3
−1
0