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    2020-2021学年安徽省高一(上)期末数学试卷人教新课标A版

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    这是一份2020-2021学年安徽省高一(上)期末数学试卷人教新课标A版,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1. sin240∘的值为( )
    A.12B.−12C.32D.−32

    2. 已知函数,则f(x)在区间[2, 6]上的最大值为( )
    A.B.3C.4D.5

    3. 函数f(x)=cs2x−sin2x是( )
    A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数
    C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数

    4. 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若,a=3,c=4,则sinA=( )
    A.B.C.D.

    5. 已知角α的终边上一点坐标为P(3, −4),则=( )
    A.B.C.D.

    6. 与函数的图象不相交的一条直线是( )
    A.B.C.D.

    7. 函数f(x)=ln|x|⋅csxx+sinx在[−π, 0)∩(0, π]的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.

    8. 若sinα=2csα,则cs2α=( )
    A.B.C.D.

    9. 已知点P(a, b)在函数图象上,且a>0,b>0,则lna⋅lnb的最大值为( )
    A.0B.C.1D.2

    10. 已知点在函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象上,直线是函数f(x)图象的一条对称轴.若f(x)在区间内单调,则φ=( )
    A.B.C.D.

    11. 下列命题中正确的是( )
    A.已知a,b是实数,则“”是“lg3a>lg3b”的必要不充分条件
    B.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若A=45∘,a=14,b=16,则△ABC有两解
    C.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acsA=bcsB,则△ABC为直角三角形
    D.已知A,B都是锐角,且A+B≠,(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B=

    12. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,−π<φ<−)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )

    A.ω=2,
    B.函数f(x)图象的对称轴为直线
    C.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即得到y=f(x)的图象
    D.若f(x)在区间上的值域为,则实数a的取值范围为
    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.其中第16题第一空2分,第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.

    sin72∘cs42∘−cs72∘sin42∘=________.

    已知函数f(x)满足f(x−1)=lgx,则不等式f(x)<0的解集为________.

    已知函数f(x)=x2−2|x|+4定义域为[a, b],其中a
    已知△ABC,∠BAC=120∘,,AD为∠BAC的角平分线,则
    (ⅰ)△ABC面积的取值范围为________.
    (ⅱ)的最小值为________.
    三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.

    已知.
    (1)化简f(θ);

    (2)已知,且,求sinθ的值.

    在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,a−b=bcsC.
    (1)求的值;

    (2)若a=2,b=3,求c.

    已知函数,x∈R.
    (1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心坐标;

    (2)若,且,,求α+β的值.

    某校新校区有一块形状为平面四边形ABCD的土地准备种一些花圃,其中A,B为定点,AB=3(百米),AD=DC=1(百米).

    (1)若∠C=120∘,BD=3(百米),求平面四边形ABCD的面积;

    (2)若BC=1(百米).
    (i)证明:3cs∠BAD=1+cs∠BCD;
    (ii)若△ABD,△BCD面积依次为S1,S2,求S12+S22的最大值.

    已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是,若将f(x)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数g(x)为奇函数.

    (1)求f(x)的解析式,并画出f(x)在区间[0, π]上的图象;

    (2)若关于x的方程3[g(x)]2+m⋅g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,求实数m的取值范围.

    已知函数f(x)=ex,.
    (1)若g(x)为偶函数,求a的值;

    (2)在(1)基础上,若∀x1∈(0, +∞),∃x2∈R,使得f(2x1)+mf(x1)−g(x2)>0成立,求实数m的取值范围.
    参考答案与试题解析
    2020-2021学年安徽省高一(上)期末数学试卷
    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.前10题为单选题,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的;第11题,12题为多项选择题,在每题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.
    1.
    【答案】
    D
    【考点】
    运用诱导公式化简求值
    【解析】
    原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
    【解答】
    sin240∘=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=−32,
    2.
    【答案】
    C
    【考点】
    函数的最值及其几何意义
    【解析】
    求出函数f(x)的单调区间,根据函数的单调性求出f(x)的最大值即可.
    【解答】
    f(x)==2+,
    f(x)在[2, 6]递减,
    故f(x)max=f(2)=2+=4,
    3.
    【答案】
    A
    【考点】
    余弦函数的对称性
    三角函数的周期性
    【解析】
    利用二倍角的余弦函数化简表达式,求出周期判断奇偶性即可.
    【解答】
    函数f(x)=cs2x−sin2x=cs3x,函数的偶函数.
    4.
    【答案】
    B
    【考点】
    正弦定理
    【解析】
    由已知利用正弦定理即可计算得解.
    【解答】
    ∵ ,a=7,
    ∴ 由正弦定理可得sinA===.
    5.
    【答案】
    C
    【考点】
    任意角的三角函数
    两角和与差的三角函数
    【解析】
    先利用三角函数的定义求出tanα,再利用两角和的正切公式求解即可.
    【解答】
    因为角α的终边上一点坐标为P(3, −4),
    所以,
    所以=.
    6.
    【答案】
    D
    【考点】
    正切函数的图象
    【解析】
    令2x−=kπ+,求得x的值,可得结论.
    【解答】
    对于函数,令6x−,求得x=+,
    令k=−8,可得x=-,
    7.
    【答案】
    D
    【考点】
    函数的图象与图象的变换
    【解析】
    由函数的奇偶性及特殊点,观察选项即可得解.
    【解答】
    ∵ f(−x)=ln|x|⋅csx−x−sinx=−f(x),
    ∴ 函数f(x)为奇函数,
    又∵ f(±1)=0,f(±π2)=0,f(π3)>0,f(π)<0,
    ∴ 选项D符合题意.
    8.
    【答案】
    A
    【考点】
    二倍角的三角函数
    【解析】
    由题意利用同角三角函数的基本关系,求得tanα的值,再利用二倍角公式,求得要求式子的值.
    【解答】
    ∵ sinα=2csα,∴ tanα=2,
    则cs7α====-,
    9.
    【答案】
    C
    【考点】
    利用导数研究函数的最值
    【解析】
    由点P在函数y=上,可得lna+lnb=2,再由重要不等式可得lna⋅lnb≤=1,(当且仅当lna=lnb,即a=b时,取等号),即可得出答案.
    【解答】
    因为点P(a, b)在函数y=上,
    所以b=,即lnb=7−lna,
    所以lna+lnb=2,
    所以lna⋅lnb≤=1,即a=b时,
    所以lna⋅lnb的最大值为1,
    10.
    【答案】
    B
    【考点】
    余弦函数的图象
    【解析】
    由题意根据函数的单调区间,得到周期的范围,结合函数零点与对称轴之间的关系求出φ即可.
    【解答】
    由题意得,-=≥=,得≤,得ω≥4,
    •≥-,∴ ω≤6.
    综上可得,4≤ω≤3.
    当ω=4时,cs(4•,得φ=kπ+,
    又0<φ<π,所以φ=,
    此时,直线x=)的图象的一条对称轴,.
    所以φ=.
    当ω=3时,cs(5×,可得φ=kπ+,
    又7<φ<π,所以φ=,
    此时,cs(5×+,故直线x=.
    当ω=5时,cs(6×,得φ=kπ+,
    又7<φ<π,所以φ=,
    此时,cs(6×+,不是最值,
    所以直线x=不是函数f(x)的图象的一条对称轴.
    综上,可得ω=4,
    11.
    【答案】
    A,B,D
    【考点】
    命题的真假判断与应用
    正弦定理
    充分条件、必要条件、充要条件
    【解析】
    对于A,“”⇒a>b,当0>a>b或a>0>b时,lg3a>lg3b不成立;反之,lg3a>lg3b⇒a>b⇒,从而“”是“lg3a>lg3b”的必要不充分条件;
    对于B,由正弦定理得A=45∘,a=14,b=16,则△ABC有两解;对于C,△ABC为等腰三角形;对于D,推导出tan(A+B)==1,由A,B都是锐角,得A+B=.
    【解答】
    对于A,a,b是实数”⇒a>b,
    当a>b>0时,lg3a>lg3b,
    当0>a>b或a>7>b时,lg3a>lg3b不成立;
    反之,lg6a>lg3b⇒a>b⇒,
    ∴ “”是“lg3a>lg3b”的必要不充分条件,故A正确;
    对于B,在△ABC中,B,C所对应的边分别为a,b,c,
    若A=45∘,a=14,则由正弦定理得:
    =,解得sinB==,
    或∠B=,
    ∴ △ABC有两解,故B正确;
    对于C,在△ABC中,B,C所对应的边分别为a,b,c,
    若acsA=bcsB,则a×,
    整理得:(a2+b2+c2)(b2−a2)=8,
    ∴ a=b,∴ △ABC为等腰三角形;
    对于D,∵ A,且A+B≠,
    ∴ 1+tanA+tanB+tanAtanB=5,
    ∴ =1,
    ∴ tan(A+B)==1,
    ∵ A,B都是锐角,故D正确.
    12.
    【答案】
    A,D
    【考点】
    由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
    【解析】
    由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式,再利用正弦函数的图象和性质,得出结论.
    【解答】
    根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的部分图象,
    可得A=2,•=+,∴ ω=2.
    再根据五点法作图,2×,∴ φ=-π,
    故f(x)=2sin(2x−),故 A正确;
    由于x=为函数的图象的一条对称轴=π,
    故对称轴方程为 x=+,k∈Z;
    将函数的图象上各点的横坐标变为原来的,
    可得到y=2sin(7x−)的图象;
    若f(x)在区间上的值域为,
    由x∈[,a]∈[],
    再根据3sin(2x−)值域为[−2,],
    ∴ 2a−∈[,],],故D正确,
    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.其中第16题第一空2分,第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.
    【答案】
    【考点】
    两角和与差的三角函数
    【解析】
    根据两角差的正弦公式,计算即可.
    【解答】
    sin72∘cs42∘−cs72∘sin42∘
    =sin(72∘−42∘)
    =sin30∘
    =.
    【答案】
    (−1, 0)
    【考点】
    其他不等式的解法
    【解析】
    根据题意,利用换元法分析可得f(x)=lg(x+1),则f(x)<0即lg(x+1)<0,则有0【解答】
    根据题意,f(x−1)=lgx=lg[(x−1)+3],
    f(x)<0即lg(x+1)<3,则有0解可得:−1【答案】
    (1, 4)
    【考点】
    函数的定义域及其求法
    【解析】
    由题意画出图形,结合函数值域可得a的范围,由此可得函数在[a, b]上为增函数,再由定义域与值域的关系列式求得满足条件的数组(a, b).
    【解答】
    作出函数f(x)=x2−2|x|+4的图象如图:
    ∵ 函数值域为[3a, 3b],即a≥3.
    则函数在[a, b]上为增函数,
    ∴ ,解得.
    ∴ 满足条件的数组(a, b)为(5.
    【答案】
    ,9
    【考点】
    三角形的面积公式
    正弦定理
    解三角形
    【解析】
    (ⅰ)由三角形的余弦定理和面积公式,结合基本不等式可得所求范围;
    (ⅱ)由S△ABC=S△ABD+S△DAC,结合三角形的面积公式,可得AD,再由基本不等式计算可得所求最小值.
    【解答】
    (ⅰ)可设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
    可得a2=b2+c6−2bccsA=b2+c4−2bc⋅(−)≥2bc+bc=3bc,
    即有bc≤a2=×12=4,
    则S△ABC=bcsinA=≤×4=,
    所以△ABC面积的取值范围为(0,];
    (ⅱ)由S△ABC=S△ABD+S△DAC,
    可得bcsin120∘=b⋅AD⋅sin60∘,
    化为bc=,
    即为AD=,
    所以===++5≥8,
    当且仅当c=2b时,取得等号,
    则的最小值为9.
    三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
    【答案】
    f(θ)===−csθ.
    因为f(θ−)=−cs(θ−,
    所以cs(θ−)=-;
    又,所以<,
    所以sin(θ−)==,
    所以sinθ=sin[(θ−)+]
    =sin(θ−)cs)sin
    =×+(-
    =.
    【考点】
    两角和与差的三角函数
    【解析】
    (1)利用三角函数诱导公式和同角三角函数关系式化简即可.
    (2)由同角三角函数关系式和三角恒等变换,求值即可.
    【解答】
    f(θ)===−csθ.
    因为f(θ−)=−cs(θ−,
    所以cs(θ−)=-;
    又,所以<,
    所以sin(θ−)==,
    所以sinθ=sin[(θ−)+]
    =sin(θ−)cs)sin
    =×+(-
    =.
    【答案】
    因为a−b=bcsC,
    可得:sinA−sinB=sinBcsC,
    可得:sinBcsC+csBsinC−sinB=sinBcsC,
    可得:csBsinC=sinB,即sinC=tanB,
    可得:=1.
    ∵ ,
    ∴ ,
    ∴ .
    【考点】
    余弦定理
    正弦定理
    【解析】
    (1)利用正弦定理化简已知等式,可得sinA−sinB=sinBcsC,进而根据两角和的正弦公式,同角三角函数基本关系式即可求解.
    (2)由已知可求csC的值,进而根据余弦定理即可求解c的值.
    【解答】
    因为a−b=bcsC,
    可得:sinA−sinB=sinBcsC,
    可得:sinBcsC+csBsinC−sinB=sinBcsC,
    可得:csBsinC=sinB,即sinC=tanB,
    可得:=1.
    ∵ ,
    ∴ ,
    ∴ .
    【答案】
    函数
    =2sinx⋅(csx+
    =sinxcsx+sin2x−
    =sin2x+×-
    =sin2x−
    =sin(2x−);
    令2kπ−≤2x−,k∈Z;
    解得kπ−≤x≤kπ+;
    所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−,kπ+];
    令2x−=kπ,解得x=+;
    所以f(x)的对称中心坐标是(+,7);
    由题意知,f(++)-,
    且α∈(0,),所以csα==;
    又f(+)=sin[2(+]=sin(β+,
    且β∈(0,),所以sinβ===;
    又α+β∈(0, π),
    所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=×-×=-,
    所以α+β=.
    【考点】
    两角和与差的三角函数
    三角函数中的恒等变换应用
    【解析】
    (1)化函数f(x)为正弦型函数,再求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标;
    (2)由题意求出sinα、csα和csβ、sinβ的值,再求cs(α+β)的值,从而求得α+β的值.
    【解答】
    函数
    =2sinx⋅(csx+
    =sinxcsx+sin2x−
    =sin2x+×-
    =sin2x−
    =sin(2x−);
    令2kπ−≤2x−,k∈Z;
    解得kπ−≤x≤kπ+;
    所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−,kπ+];
    令2x−=kπ,解得x=+;
    所以f(x)的对称中心坐标是(+,7);
    由题意知,f(++)-,
    且α∈(0,),所以csα==;
    又f(+)=sin[2(+]=sin(β+,
    且β∈(0,),所以sinβ===;
    又α+β∈(0, π),
    所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=×-×=-,
    所以α+β=.
    【答案】
    解:(1)令BC=x,
    在△BCD中,由余弦定理可得:3=1+x2−2×1×x×cs120∘,
    即x2+x−2=0,解得:x=1或x=−2(舍),
    在△BCD中,BC=CD=1,∠C=120,
    所以S△BCD=12×1×1×sin120∘=34,
    在△ABD中,AB=BD=3,AD=1,
    所以AD边上的高为3−122=112,
    所以S△ABD=12×1×112=114,
    所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=3+114(平方百米).
    (2)(i)在△ABD中,BD2=AB2+AD2−2×AB×AD×cs∠BAD
    =4−23cs∠BAD,
    在△BCD中,BD2=BC2+CD2−2×BC×CD×cs∠BCD
    =2−2cs∠BCD,
    所以4−23cs∠BAD=2−2cs∠BCD,
    所以3cs∠BAD=1+cs∠BCD.
    (ii)S12=12×1×3×sin∠BAD2
    =34sin2∠BAD=341−cs2∠BAD,
    S22=12×1×1×sin∠BCD2
    =14sin2∠BCD=141−cs2∠BCD,
    所以S12+S22=143−3cs2∠BAD+1−cs2∠BCD
    =144−1+cs∠BCD2−cs2∠BCD
    =14−2cs2∠BCD−2cs∠BCD+3,
    因为3cs∠BAD=1+cs∠BCD,
    所以−3<1+cs∠BCD<3,
    可得−1所以S12+S22=14−2cs∠BCD+122+72
    =−12cs∠BCD+122+78,
    所以cs∠BCD=−12时,S12+S22max=78,
    即∠BCD=2π3时,S12+S22取得最大值,且最大值为78平方百米.
    【考点】
    余弦定理的应用
    三角形的面积公式
    诱导公式
    二次函数在闭区间上的最值
    【解析】
    (1)由已知利用余弦定理可求得BC的值,可求csA,利用同角三角函数基本关系式可求sinA,进而根据三角形的面积公式即可计算求解.
    (2)(ⅰ)分别在△ABD,△BCD中应用余弦定理可得,化简即可得证.
    (ii)利用三角形的面积公式,三角函数恒等变换的应用可求,利用二次函数的性质即可求解.
    【解答】
    解:(1)令BC=x,
    在△BCD中,由余弦定理可得:3=1+x2−2×1×x×cs120∘,
    即x2+x−2=0,解得:x=1或x=−2(舍),
    在△BCD中,BC=CD=1,∠C=120,
    所以S△BCD=12×1×1×sin120∘=34,
    在△ABD中,AB=BD=3,AD=1,
    所以AD边上的高为3−122=112,
    所以S△ABD=12×1×112=114,
    所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=3+114(平方百米).
    (2)(i)在△ABD中,BD2=AB2+AD2−2×AB×AD×cs∠BAD
    =4−23cs∠BAD,
    在△BCD中,BD2=BC2+CD2−2×BC×CD×cs∠BCD
    =2−2cs∠BCD,
    所以4−23cs∠BAD=2−2cs∠BCD,
    所以3cs∠BAD=1+cs∠BCD.
    (ii)S12=12×1×3×sin∠BAD2
    =34sin2∠BAD=341−cs2∠BAD,
    S22=12×1×1×sin∠BCD2
    =14sin2∠BCD=141−cs2∠BCD,
    所以S12+S22=143−3cs2∠BAD+1−cs2∠BCD
    =144−1+cs∠BCD2−cs2∠BCD
    =14−2cs2∠BCD−2cs∠BCD+3,
    因为3cs∠BAD=1+cs∠BCD,
    所以−3<1+cs∠BCD<3,
    可得−1所以S12+S22=14−2cs∠BCD+122+72
    =−12cs∠BCD+122+78,
    所以cs∠BCD=−12时,S12+S22max=78,
    即∠BCD=2π3时,S12+S22取得最大值,且最大值为78平方百米.
    【答案】
    ∵ 图象两相邻对称轴之间的距离是,
    ∴ T=π,∴ ω=2,
    ∴ f(x)=cs(4x+φ)
    又∵
    ∴ ,
    列表:
    图象如图所示
    (请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确,若有不符
    由(1)知g(x)=sin2x,
    ∵ 令t=g(x)=sin2x∈[5,
    ∴ 可得关于t的方程3t2+mt+3=0在[0, 5]上有一解.
    令ℎ(t)=3t2+mt+6
    ∵ ℎ(0)=2>0,则需满足ℎ(1)<5或,
    得m<−5或m=−2,
    即实数m的取值范围是m<−5或m=−5.
    【考点】
    由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
    函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
    【解析】
    (1)根据条件求出函数f(x)的解析式,结合五点法进行作图即可.
    (2)利用换元法将条件进行转化,结合一元二次方程根的分布进行转化求即可.
    【解答】
    ∵ 图象两相邻对称轴之间的距离是,
    ∴ T=π,∴ ω=2,
    ∴ f(x)=cs(4x+φ)
    又∵
    ∴ ,
    列表:
    图象如图所示
    (请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确,若有不符
    由(1)知g(x)=sin2x,
    ∵ 令t=g(x)=sin2x∈[5,
    ∴ 可得关于t的方程3t2+mt+3=0在[0, 5]上有一解.
    令ℎ(t)=3t2+mt+6
    ∵ ℎ(0)=2>0,则需满足ℎ(1)<5或,
    得m<−5或m=−2,
    即实数m的取值范围是m<−5或m=−5.
    【答案】
    因为函数g(x)的定义域为R,若g(x)为偶函数,
    所以对∀x∈R都有g(−x)=g(x),
    所以ln(+aex)=ln(ex+),
    所以(ex−)(7−a)=0.
    ,“=”取得当且仅为x=0时,
    由题意:∀x1∈(6, +∞)2∈R,使得f(2x2)+mf(x1)>g(x2)成立
    即∀x4∈(0, +∞),​3∈(0, +∞)恒成立
    令,则t>3且
    设,易知ℎ(t)在(1
    所以ℎ(t)所以m的取值范围为[ln5−1, +∞).
    【考点】
    函数奇偶性的性质与判断
    利用导数研究函数的最值
    【解析】
    (1)因为函数g(x)的定义域为R,根据偶函数的定义,可得对∀x∈R都有g(−x)=g(x),解得a.
    (2)先求出g(x)的最小值ln2,问题转化为∀x1∈(0, +∞),,只需m>(−e)​max,即可得出答案.
    【解答】
    因为函数g(x)的定义域为R,若g(x)为偶函数,
    所以对∀x∈R都有g(−x)=g(x),
    所以ln(+aex)=ln(ex+),
    所以(ex−)(7−a)=0.
    ,“=”取得当且仅为x=0时,
    由题意:∀x1∈(6, +∞)2∈R,使得f(2x2)+mf(x1)>g(x2)成立
    即∀x4∈(0, +∞),​3∈(0, +∞)恒成立
    令,则t>3且
    设,易知ℎ(t)在(1
    所以ℎ(t)所以m的取值范围为[ln5−1, +∞).x
    4
    π
    0
    π
    1
    3
    −1
    0
    x
    4
    π
    0
    π
    1
    3
    −1
    0
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